当示范麦克斯韦方程组能够推导出电磁波时，往往会演示一个平面波的解。但这种平面波情景有不少特殊假设：一方面限定了电场、磁场的方向（y轴、z轴）和波的传播方向（x轴），另一方面要求场强在传播路径的横截面（y、z方向）上均匀分布，其大小只是路径方向的坐标（x）和时间（t）的函数。这种在y、z方向上的均布性让人怀疑是否真实——一方面，显然不可能制造一个在无限空间中均布的场；另一方面，现实中常见的电磁波的例子，往往都是从一个源向四面八方辐射的，平面波解似乎脱离了实际。

从这个角度讲，天线是一个发射电磁波的现实情景。但如果真是给定天线的电流、电荷分布，求解它辐射的3维球面电磁波，难度又确实不小，需要构造矢量位、标量位等辅助函数。难度介于两者之间，可以只分析离开天线较远的空间位置（以便忽略一些高阶小项），并不去关心边界条件（这样解里会有几个不去管它的常数，如波的辐射强度、频率、相位等，显然这些应由波源的条件决定）。我们希望得到一个更接近实际的电磁波的解，找到电磁场强度的解析式，用来看清它的模样。

研究天线产生的球面电磁波，开始时容易想当然地认为，天线发射电磁波就像火球发出光一样，在各个角度的强度都相等、且服从平方反比定律。这样就会猜测电磁波会有 E = E0 r^-1 sin(ωt – ω/c r) 这样的在空间中完全球对称的解（之所以场强∝r^-1，是因为光强服从平方反比，而一个位置的光强是电场强度与磁场强度之积——坡印亭矢量 S = E×B —— 也即能流密度，对时间的平均值）。但再稍加分析就会发现，这种球对称的情况注定无法出现——电场和磁场方向垂直，如果完全球面对称，必然会出现不为0的散度。例如下图中，假设Eθ、Er、Bφ都与 θ、φ 无关，而只是 r 的函数，那么对于所有 z 轴上的点，电场的散度显然不为0（Eθ都指向中心），这与远离波源的空间中无电荷、电流的情景矛盾。实际上，对于直线天线而言，沿天线方向上（z轴）的点的电磁波强度为0，而过天线中点、垂直于天线的平面（xy平面）上的电磁波强度最大，显然电磁波不是完全球面对称的。

注：除了位置用球坐标 r、θ、φ 表示之外。对该位置上的场强矢量，也可以分解成 r、θ、φ 方向的分量 —— r方向就是位置矢量的方向；φ方向是垂直于位矢和z轴的方向，不妨定义为位矢叉乘z轴的方向；θ则是垂直于位矢、又和z轴共面的方向，不妨定义为φ方向叉乘位矢的方向。
图1 以天线中心为原点的球坐标系

下面，我们就切入主题，分析上图这种系统产生的电磁场特征。天线放在原点上，方向平行z轴。天线结构为中心馈电的载流导线。电流流经天线后，将在天线两端产生变化的正、负电场，同时在天线周边产生环形磁场。电场、磁场的方向可以先定性地给出——以便将一些矢量偏微分方程简化为标量偏微分方程。我们先感性地看一张天线周边电场变化的动图：

图片来源：https://en.wikipedia.org/wiki/Antenna_(radio)
作者：Chetvorno 依据 Creative Commons CC0 1.0 Universal Public Domain Dedication 开放使用权

图2 天线辐射的电场分布动图

对于图1、图2中这种偶极天线的辐射，不严格论证，但是可以依据对电磁场的认识判断，电场不应有水平旋转方向的分量 Eφ（否则破坏了系统围绕z轴的旋转对称性）；磁场不应有径向的分量 Br（否则出现了磁极，而系统中没有磁极或环形电流）；更进一步，通过“无耻地”偷看答案，我们还知道磁场只有φ方向的分量（作为事后诸葛，我们也可以说竖直旋转方向的磁场分量 Bθ 是违反直觉的，因为没有水平方向的环形电场）。

上述三条对电磁场方向的不严格的预先判断，降低了求解波动方程的难度。后续可只讨论电场 r、θ 方向的分量 Er、Eθ，和磁场 φ方向的分量 Bφ，他们的场强对时间和位置的函数是标量函数，为了避免下标字体与变量字体分不清，后文将 Er、Eθ、Bφ 分别改记为 E1(r, θ, φ, t)、E2(r, θ, φ, t)、B3(r, θ, φ, t)。

这样我们就可以列出麦克斯韦方程组。

采用希弗赛德（Heaviside）给出的微分形式麦克斯韦方程组为基础（这又是占的一个现代人的便宜），并给定电荷密度 ρ=0、电流密度 J=0，有：

∇·E = 0
∇·B = 0
∇×B = μ₀ε₀ ∂E/∂t
∇×E = – ∂B/∂t

将前面关于电场、磁场方向的判断带入：

Ex = E1 sinθ cosϕ – E2 cosθ cosϕ
Ey = E1 sinθ sinϕ – E2 cosθ sinϕ
Ez = E1 cosθ + E2 sinθ

Bx =  B3 sinϕ
By = –B3 cosϕ
Bz =  0

关于 nabla 符号 ∇ 的含义，可以参见上一篇学习笔记（球坐标下拉普拉斯算子的推导）。上篇给出的矢量恒等式在此派上用场：

∇×(∇×B) = ∇(∇·B) – ∇²B

将该式带入麦克斯韦第二、三方程：

∇×(∇×B) = ∇×(μ₀ε₀∂E/∂t) = ∇(∇·B) – ∇² B

又 ∇×(∂E/∂t) =  ∂(∇×E)/∂t

再带入第四方程，得到：

∇² B =  μ₀ε₀ ∂²B/∂t²

显然，该方程可化为标量函数 B3 的二阶偏微分方程。

利用上篇提到的 Python 偏导数计算器，这个方程化为：

∂²B3/∂r² + r^-2 ∂²B3/∂θ² + 2 r^-1 ∂B3/∂r

+r^-2 ∂B3/∂θ (sinθ)^-1 cosθ – B3 r^-2 (sinθ)^-2

= μ₀ε₀ ∂²B3/∂t²

当然，这个偏微分方程还是很难去猜解是谁。由于有教材（再次偷看答案。。），我们可以验证，在 r >> |1/k| 时，以下函数

B3(r, θ, φ, t) = B₃₀ r^-1 sinθ sin(ωt + kr +φ₀)

是方程的一个近似解（代入后，方程左边仅多一项 -2 B₃₀ r^-3 sinθ sin(ωt+kr+φ₀) ，而它和方程右边的  μ₀ε₀ ω^2 B₃₀ r^-1 sinθ sin(ωt + kr +φ₀) 相比是高阶小项）。

其中 k = – ω  sqrt(μ₀ε₀) = -ω/c，故不含 k 的表达式为：

B3(r, θ, φ, t) = B₃₀ r^-1 sinθ sin(ωt -ωr/c +φ₀)

ω 、φ₀和 B₃₀ 是常数。

从 B3 的表达式已经可以看到这种球面波的很多性质，例如等相位面的传播速度为 c：

ωt0 -ω r0/c = ω t1 -ω r1/c   →   (r1-r0) = (t1-t0) * c

以及场强与距离 r 成反比；场强与 sinθ 成正比——印证了本文开始提到的，天线的轴向电磁波强度为 0，垂直于天线的平面电磁波强度最大。

对于电场的方程，我们首先带入将 E1、E2 代入∇·E = 0

利用上篇的 Python 求导器，得到：

2 E1 r^-1 +∂E1/∂r -E2 r^-1 (sinθ)^-1 cosθ -∂E2/∂θ r^-1 = 0

不能想当然以为上式中 E1、E2 无关，将上式拆成两个分别关于 E1、E2 的一阶微分方程，那样就会得到 E1 = E₁₀ r^-2；E2 = E₂₀ (sinθ)^-1。显然这个结果是荒谬的，z轴上的切向电场 E2 将得到无穷大。

可以验证，如下构造的 E1、E2  满足 ∇·E = 0

E1 = -2 E₂₀ k^-1 r^-2 cosθ cos(kr +ϕ(t))
E2 = E₂₀ r^-1 sinθ sin(kr +ϕ(t))

（2 E1 r^-1 +∂E1/∂r -E2 r^-1 (sinθ)^-1 cosθ -∂E2/∂θ r^-1 =
-4 E₂₀ k^-1 r^-3 cosθ cos(kr +ϕ(t))
+4 E₂₀ k^-1 r^-3 cosθ cos(kr +ϕ(t))
+2 E₂₀ r^-2 cosθ sin(kr +ϕ(t))
-E₂₀ r^-2 sin(kr +ϕ(t)) cosθ
-E₂₀ r^-2 cosθ sin(kr +ϕ(t))
= 0
这个猜测的过程是，首先电磁波电场的主要方向是 E2，所以 E2 的表达式应该与 B3 非常接近，而 E1 的数量级应该是与距离平方成反比的，基于这两条，可以给 E1 添加一个余弦部分，凑出正好消成 0 的散度）

再代入麦克斯韦第四方程，用 Python 求导器列出 E 的旋度，得到：

∂E1/∂θ r^-1 +E2 r^-1 +∂E2/∂r = -B₃₀ ω r^-1 sinθ cos(ωt + kr +φ0)

再将刚才构造的满足 ∇·E = 0 的 E1、E2 代入，得到：

2 E₂₀ k^-1 r^-3 sinθ cos(kr +ϕ(t))
+E₂₀ r^-2 sinθ sin(kr +ϕ(t))
-E₂₀ r^-2 sinθ sin(kr +ϕ(t))
+E₂₀ k r^-1 sinθ cos(kr +ϕ(t))

= -B₃₀ ω r^-1 sinθ cos(ωt + kr +φ₀)

在 r >> |1/k| 时，方程左边的第一项 |k^-1 r^-3| << |k r^-1|，忽略该高阶小项，方程化为：

E₂₀ k r^-1 sinθ cos(kr +ϕ(t))
= -B₃₀ ω r^-1 sinθ cos(ωt + kr +φ₀)

由 k =  -ω/c，可以得到： ϕ(t) = ωt + φ₀；E₂₀ = B₃₀ c

至此，得到了麦克斯韦方程组的一个近似解：

E1(r, θ, φ, t) = 2 B₃₀ c^2 ω^-1 r^-2 cosθ cos(ωt -ωr/c +φ₀)
E2(r, θ, φ, t) = B₃₀ c r^-1 sinθ sin(ωt -ωr/c +φ₀)
B3(r, θ, φ, t) = B₃₀ r^-1 sinθ sin(ωt -ωr/c +φ₀)

应该看到，因为预先设定了电磁场的方向，以及只讨论到原点距离远大于波长的远区，降低了数学的难度。同时，上述计算根本没有考虑发射源的物理状态，因此，解里边的系数 B₃₀ 和 ω 、φ₀都是待定的，对于真正的无线电分析来说，这并不算完成。只能说，相对于开篇的目的而言，算是了解到了形如上式的时变电磁场是麦克斯韦方程组的一个解。且此数学表达式是一个从原点向空间沿径向（ r 方向）辐射的球面正弦波，波速为光速，且电场和磁场是同相位的（强的时候同时强，弱的时候同时弱，而不是交错强弱的）；电磁场场强方向、大小与位置的关系也可以从公式中得知。这对于本篇的初始目的来说，就已经很好了。下图是把上述函数中的磁场部分，用可视化的方法做成了 gif 动图：

正值用红色线段表示，负值用蓝色线段表示，亮度反映了B3的绝对值，线段方向指示了场的方向；视角在不停转动以便让观众形成三维空(xuan)间(yun)感。。
图3 MoviePy 制作的一个 B3(r, θ, φ, t) 的动图（本站拙作）

结合 wiki 上搬过来的电场的动图，读者应该对天线产生的电磁场的时变特征有了较形象的印象。