拉普拉斯算子在物理和工程中都有重要的作用，比如要想理解电磁波波动方程、薛定谔方程，第一个需要熟悉的数学符号就是拉普拉斯算子。如果不满足于看科普文章遇到公式就跳过去，还是花一天半天的时间，打开 Excel，编辑一些公式，熟悉一下这些常用的算符。

拉普拉斯算子 ∆ ，也写作 ∇²， 定义并不复杂，若 u 是 x,y,z 的函数：
∆u = ∇·(∇u) = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²
∆u 即 u 对 x、y、z 的二阶偏导之和。

其中，∇·(∇u) 是用 nabla 符号∇ 表示的拉普拉斯算子，nabla 符号∇ 可以看成一个特殊的“向量”，只不过其分量是偏微分符号：∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)’

这样，如果 ∇数乘一个标量函数，就有了该函数的梯度：

∇ψ= grad ψ= (∂ψ/∂x, ∂ψ/∂y, ∂ψ/∂z)’

如果 ∇点乘一个矢量场，就像电场、磁场，就有了场的散度：

∇·E =divE =∂E_x/∂x + ∂E_y/∂y + ∂E_z/∂z

叉乘矢量场，就有了场的旋度：

∇×E= rotE= (∂E_z/∂y– ∂E_y/∂z, ∂E_x/∂z – ∂E_z/∂x, ∂E_y/∂x – ∂E_x/∂y)’

梯度、散度、旋度，都是值得编程或用 Excel 理解一下的概念，这里不再赘述了。

很显然，函数 u 对 x、y、z 的二阶偏导之和，就是它的梯度的散度。因此 ∆u = ∇·(∇u) = ∇² u，这三种拉普拉斯算子的写法是等价的。

值得多提一句的是，向量叉乘有一个“BAC-CAB”恒等式：

A×(B×C) = B(A·C) – C(A·B)

把 A、B 替换为∇算子，有：

∇×(∇×C) = ∇(∇·C) – (∇·∇C) = ∇(∇·C) – ∆C

这个等式在不少地方都有用处。

上面似乎还不算太复杂。不过我们有时候关心中心对称的物理情景，比如天线向周围空间辐射电磁波，电子绕原子核运动等等。对于这种中心对称的情况，有理由猜测运动方程用球坐标写会比较简化。因此，还有必要把刚才的拉普拉斯算子写出球坐标形式。

先看球坐标系的定义：

从坐标原点指向空间中位置的位置矢量r，简称“位矢”。那么球坐标系的三个坐标依次是：
r – 到原点的距离，也即位矢 r 的长度；θ – 位矢与 z 轴的夹角，ϕ – 位矢在 xy 平面投影与x轴的夹角。

易知：
x = r sinθ cosϕ
y= r sinθ sinϕ
z = r cosθ

式（1）

要写出 ∆u 的球坐标形式，就不是那么简单了，很多书上、百科上只有一个冷冰冰的结果，至于那是怎么来的，又像道生一、一生二似的，没有解释。实际上，这个推导量还不是几行就能搞定的，但也没有太多难度，只是繁琐了一些。本文就用了最笨的办法把这个推导过程写了出来。

第一步，先把一阶偏导数 ∂u/∂x、∂u/∂y、∂u/∂z 表示成球坐标形式：

由于（1）式中 x、y、z 对 r、θ 、ϕ 的导数很好求，所以先用链式法则表示 ∂u/∂r、∂u/∂θ、∂u/∂ϕ 与 ∂u/∂x、∂u/∂y、∂u/∂z 的关系：

∂u/∂r = [sinθ cosϕ, sinθ sinϕ, cosθ]’ ·(∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z)’
∂u/∂θ = [r cosθ cosϕ, r cosθ sinϕ, -r sinθ]’ ·(∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z)’
∂u/∂ϕ = [-r sinθ sinϕ, rsinθ cosϕ, 0 ]’ ·(∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z)’

式（2）

上面[ , , ]’是用向量表示 x、y、z 对 r、θ 、ϕ 的导数。

这样求 ∂u/∂x、∂u/∂y、∂u/∂z，就只需要求一个矩阵逆，可以得到：

∂u/∂x =
∂u/∂r sinθ cosϕ
+∂u/∂θ r^-1 cosθ cosϕ
-∂u/∂ϕ r^-1 (sinθ)^-1 sinϕ

∂u/∂y =
∂u/∂r sinθ sinϕ
+∂u/∂θ r^-1 cosθ sinϕ
+∂u/∂ϕ r^-1 (sinθ)^-1 cosϕ

∂u/∂z =
∂u/∂r cosθ
-∂u/∂θ r^-1 sinθ

式（3）

有了上述一阶偏导的球坐标形式，再求二阶偏导，就是暴力计算的事了。具体是：对式（3）再对 x、y、z 求导，其中要反复用到 r、sinθ、cosθ、sinϕ、cosϕ 对 x、y、z 的导数，把结果整理成只含 r、sinθ、cosθ、sinϕ、cosϕ 和 ∂u/∂r、∂u/∂θ、∂u/∂ϕ 对 x、y、z 的偏导数的多项式；然后再带入式（3），把所有对 x、y、z 的偏导数变为对 r、θ 、ϕ 的偏导数）：

说来容易，算起来麻烦。与其一个式子一个式子手算，不如编个程序降低枯燥。为此，我还编了一个300多行的 Python 程序，专门处理这些求导的符号运算，但程序实在太丑陋，不好意思贴出来。

以下是计算机求导的结果：

首先，计算  r、sinθ、cosθ、sinϕ、cosϕ 对 x、y、z 的导数：

∂r/∂x = sinθ cosϕ
∂r/∂y = sinθ sinϕ
∂r/∂z = cosθ
∂sinθ/∂x = r^-1 (cosθ)^2 cosϕ
∂sinθ/∂y = r^-1 (cosθ)^2 sinϕ
∂sinθ/∂z = -r^-1 sinθ cosθ
∂cosθ/∂x = -r^-1 sinθ cosθ cosϕ
∂cosθ/∂y = -r^-1 sinθ cosθ sinϕ
∂cosθ/∂z = r^-1 (sinθ)^2
∂sinϕ/∂x = -r^-1 (sinθ)^-1 sinϕ cosϕ
∂sinϕ/∂y = r^-1 (sinθ)^-1 (cosϕ)^2
∂sinϕ/∂z = 0
∂cosϕ/∂x = r^-1 (sinθ)^-1 (sinϕ)^2
∂cosϕ/∂y = -r^-1 (sinθ)^-1 sinϕ cosϕ
∂cosϕ/∂z = 0

式（4）

然后，对式（3）再对 x、y、z 求导，并代入式（4）的结果：

∂( ∂u/∂x )/∂x =
+(sinθ)^2 (cosϕ)^2 ∂∂u/∂r/∂r
+r^-1 sinθ cosθ (cosϕ)^2 ∂∂u/∂r/∂θ
+∂u/∂r r^-1 (cosθ)^2 (cosϕ)^2
+∂u/∂r r^-1 (sinϕ)^2
-r^-1 sinϕ cosϕ ∂∂u/∂r/∂ϕ
+r^-1 sinθ cosθ (cosϕ)^2 ∂∂u/∂θ/∂r
+r^-2 (cosθ)^2 (cosϕ)^2 ∂∂u/∂θ/∂θ
+∂u/∂θ r^-2 (sinθ)^-1 cosθ (sinϕ)^2
-r^-2 (sinθ)^-1 cosθ sinϕ cosϕ ∂∂u/∂θ/∂ϕ
-∂u/∂θ r^-2 sinθ cosθ (cosϕ)^2
-∂u/∂θ r^-2 sinθ cosθ (cosϕ)^2
+r^-2 (sinθ)^-2 (sinϕ)^2 ∂∂u/∂ϕ/∂ϕ
+∂u/∂ϕ r^-2 (sinθ)^-2 (cosθ)^2 sinϕ cosϕ
+∂u/∂ϕ r^-2 (sinθ)^-2 sinϕ cosϕ
+∂u/∂ϕ r^-2 sinϕ cosϕ
-r^-1 sinϕ cosϕ ∂∂u/∂ϕ/∂r
-r^-2 (sinθ)^-1 cosθ sinϕ cosϕ ∂∂u/∂ϕ/∂θ

∂( ∂u/∂y )/∂y =
+(sinθ)^2 (sinϕ)^2 ∂∂u/∂r/∂r
+r^-1 sinθ cosθ (sinϕ)^2 ∂∂u/∂r/∂θ
+r^-1 sinϕ cosϕ ∂∂u/∂r/∂ϕ
+∂u/∂r r^-1 (cosθ)^2 (sinϕ)^2
+∂u/∂r r^-1 (cosϕ)^2
+r^-1 sinθ cosθ (sinϕ)^2 ∂∂u/∂θ/∂r
+r^-2 (cosθ)^2 (sinϕ)^2 ∂∂u/∂θ/∂θ
+r^-2 (sinθ)^-1 cosθ sinϕ cosϕ ∂∂u/∂θ/∂ϕ
+∂u/∂θ r^-2 (sinθ)^-1 cosθ (cosϕ)^2
-∂u/∂θ r^-2 sinθ cosθ (sinϕ)^2
-∂u/∂θ r^-2 sinθ cosθ (sinϕ)^2
+r^-1 sinϕ cosϕ ∂∂u/∂ϕ/∂r
+r^-2 (sinθ)^-1 cosθ sinϕ cosϕ ∂∂u/∂ϕ/∂θ
+r^-2 (sinθ)^-2 (cosϕ)^2 ∂∂u/∂ϕ/∂ϕ
-∂u/∂ϕ r^-2 (sinθ)^-2 (cosθ)^2 sinϕ cosϕ
-∂u/∂ϕ r^-2 (sinθ)^-2 sinϕ cosϕ
-∂u/∂ϕ r^-2 sinϕ cosϕ

∂( ∂u/∂z )/∂z =
+(cosθ)^2 ∂∂u/∂r/∂r
+∂u/∂r r^-1 (sinθ)^2
-r^-1 sinθ cosθ ∂∂u/∂r/∂θ
+r^-2 (sinθ)^2 ∂∂u/∂θ/∂θ
+∂u/∂θ r^-2 sinθ cosθ
+∂u/∂θ r^-2 sinθ cosθ
-r^-1 sinθ cosθ ∂∂u/∂θ/∂r

将以上三个式子加在一起，整理，得：

∆u = ∇·(∇u) = ∂(∂u/∂x)/∂x + ∂(∂u/∂y)/∂y + ∂(∂u/∂z)/∂z =
+(sinθ)^2 (cosϕ)^2 ∂∂u/∂r/∂r
+(sinθ)^2 (sinϕ)^2 ∂∂u/∂r/∂r
+(cosθ)^2 ∂∂u/∂r/∂r

+r^-1 sinθ cosθ (cosϕ)^2 ∂∂u/∂r/∂θ
+r^-1 sinθ cosθ (cosϕ)^2 ∂∂u/∂θ/∂r
+r^-1 sinθ cosθ (sinϕ)^2 ∂∂u/∂r/∂θ
+r^-1 sinθ cosθ (sinϕ)^2 ∂∂u/∂θ/∂r
-r^-1 sinθ cosθ ∂∂u/∂r/∂θ
-r^-1 sinθ cosθ ∂∂u/∂θ/∂r
-r^-1 sinϕ cosϕ ∂∂u/∂r/∂ϕ
-r^-1 sinϕ cosϕ ∂∂u/∂ϕ/∂r
+r^-1 sinϕ cosϕ ∂∂u/∂r/∂ϕ
+r^-1 sinϕ cosϕ ∂∂u/∂ϕ/∂r
+r^-2 (cosθ)^2 (cosϕ)^2 ∂∂u/∂θ/∂θ
+r^-2 (cosθ)^2 (sinϕ)^2 ∂∂u/∂θ/∂θ
+r^-2 (sinθ)^2 ∂∂u/∂θ/∂θ
-r^-2 (sinθ)^-1 cosθ sinϕ cosϕ ∂∂u/∂θ/∂ϕ
-r^-2 (sinθ)^-1 cosθ sinϕ cosϕ ∂∂u/∂ϕ/∂θ
+r^-2 (sinθ)^-1 cosθ sinϕ cosϕ ∂∂u/∂θ/∂ϕ
+r^-2 (sinθ)^-1 cosθ sinϕ cosϕ ∂∂u/∂ϕ/∂θ
+r^-2 (sinθ)^-2 (sinϕ)^2 ∂∂u/∂ϕ/∂ϕ
+r^-2 (sinθ)^-2 (cosϕ)^2 ∂∂u/∂ϕ/∂ϕ
+∂u/∂r r^-1 (cosθ)^2 (cosϕ)^2
+∂u/∂r r^-1 (sinϕ)^2
+∂u/∂r r^-1 (cosθ)^2 (sinϕ)^2
+∂u/∂r r^-1 (cosϕ)^2
+∂u/∂r r^-1 (sinθ)^2
+∂u/∂θ r^-2 (sinθ)^-1 cosθ (sinϕ)^2
-∂u/∂θ r^-2 sinθ cosθ (cosϕ)^2
-∂u/∂θ r^-2 sinθ cosθ (cosϕ)^2
+∂u/∂θ r^-2 (sinθ)^-1 cosθ (cosϕ)^2
-∂u/∂θ r^-2 sinθ cosθ (sinϕ)^2
-∂u/∂θ r^-2 sinθ cosθ (sinϕ)^2
+∂u/∂θ r^-2 sinθ cosθ
+∂u/∂θ r^-2 sinθ cosθ
+∂u/∂ϕ r^-2 (sinθ)^-2 (cosθ)^2 sinϕ cosϕ
+∂u/∂ϕ r^-2 (sinθ)^-2 sinϕ cosϕ
+∂u/∂ϕ r^-2 sinϕ cosϕ
-∂u/∂ϕ r^-2 (sinθ)^-2 (cosθ)^2 sinϕ cosϕ
-∂u/∂ϕ r^-2 (sinθ)^-2 sinϕ cosϕ
-∂u/∂ϕ r^-2 sinϕ cosϕ

=

∂∂u/∂r/∂r
+r^-2 ∂∂u/∂θ/∂θ
+r^-2 (sinθ)^-2 ∂∂u/∂ϕ/∂ϕ
+2 ∂u/∂r r^-1
+∂u/∂θ r^-2 (sinθ)^-1 cosθ

最后消得只剩上述5项了。再把1、4和2、5项用点技巧合并，就可以写成教科书上的形式了：

= (1/r^2) ∂( r^2 ∂u/∂r )/∂r
+ (1/r^2) cscθ ∂( sinθ ∂u/∂θ )/∂θ
+ (1/r^2) (cscθ)^2 ∂( ∂u/∂ϕ )/∂ϕ

至此完成拉普拉斯算子球坐标形式的推导。