前面我们讲过，德国数学家 莱布尼兹 以和牛顿共同发明了微积分而闻名。那么说到微积分，就不能不提它的另一位发明者，英国物理学家、数学家 —— 牛顿。

牛顿生于 1642 年，他是人类历史上一位划时代的科学巨匠。他在伽利略等人的研究基础上，总结出了力学三定律，奠定了经典物理学的基础；他提出让地球围绕太阳转动、月球围绕地球转动，以及让抛出的物体掉落到地面上的力量，是同一种力 —— 万有引力，并且服从一致的数学规律；他给出的万有引力定律精确地描述了太阳系中几乎一切天体运动，直到 1915 年才被爱因斯坦用更精确的广义相对论修正；他让人们看到了科学和数学的精准、可靠的预言能力，让人们熟悉了科学研究的实证方法，进而开启了科学改变世界的时代。

在关于牛顿的故事中，流传最广的要属他被苹果砸中，然后想出万有引力定律的趣闻了。其实，那和笛卡尔给公主写心形线公式的故事一样，都是美丽的传说。万有引力定律的提出，是在无数次计算、推理、假设、验证的基础上，总结出的严谨成果，岂是被苹果砸一下就能冒出来的。只是由于这个故事有趣，所以流传很广。

我们这里也不怕落入俗流，用这个故事创作一个 Scratch 程序 —— 抛苹果砸牛顿。

代码量：20块积木

角色素材：牛顿的 .svg 文件在 这里下载，解压后上传到作品角色栏中，苹果使用 Scracth 内置的 Apple。

舞台背景：Scratch 内置的 Tree。

程序逻辑：

在这个程序中，我们让牛顿在“绿旗子被点击”后，在屏幕下方随机左右移动。用鼠标点击树上的苹果，苹果将被向右抛出，做抛物线运动。如果砸中牛顿，程序结束；如果没有砸中，回到树上的初始位置。

代码：

Apple:

Newton:

讲解：

这集我们用很少的几块积木，让苹果实现了牛顿经典力学中的抛物线运动。

由于学龄前儿童都能键入这个程序，因此本站斗胆尝试给小朋友解释，为什么上边苹果这段程序能呈现抛物线运动效果，以及 Scratch 动画编程和微积分的相似之处。

要想实现抛物线运动的效果，我们必须让苹果在垂直方向上的速度有变化。因为任何抛射出去的物体，其垂直速度都是不断改变的 —— 当物体向上运动时，向上的速度会越来越慢；当物体向下运动时，向下的速度则会越来越快。

我们可以用一个有正负的数表示速度，正数代表向上运动，负数代表向下运动。这样，刚才我们说到的抛物线运动规律，其实就合并为一条规律：即垂直速度不断地“负增长”。

当垂直速度是正数的时候，“负增长”意味着正数越来越小；当垂直速度是负数的时候，“负增长”意味着“负”得越来越多。

这个程序用了一个小把戏，就是把苹果的“方向”用作了代表它垂直速度的变量。方向在 Scratch 中的取值可以是 -179~180，这对于我们游戏中的垂直速度而言，范围是足够大的。

那我们是如何做到让“方向”代表角色的垂直速度的？把戏就在于，在“重复执行”模块的每一次循环里，都会执行“将 y坐标增加(方向)”

程序的每一轮循环，都会耗费一个微小的时间，在这个微小的时间中，角色的 x坐标、y坐标都增加了一些数值。在数学和物理中，“坐标改变量” 除以 “耗费时间量” 的比值，也就是速度。

如果“重复执行”代码块执行 1次，耗费的时间是 dt 秒，dt 时间内坐标的改变量，我们一般用 dx、dy 来表示，分别代表 x坐标的增量和 y坐标的增量。

在这个程序中，我们在重复执行时每次让 x坐标增加 10，让 y坐标增加（方向），因此，数学关系可以写为：

水平速度 = dx / dt = 10 / dt
垂直速度 = dy / dt = 方向 / dt

在 Scratch 中，动画是以一定“帧率”呈现的。简单来说，帧率也就是 1 秒钟之内，允许角色“变位置”多少次，记为 FPS。那么，变一次位置，耗费的时间也就是 1/FPS，即 dt = 1/FPS，或写为 1/dt = FPS。

因此，角色的水平速度、垂直速度，又可以写为：

水平速度 = dx / dt = 10 / dt = 10 * FPS
垂直速度 = dy / dt = 方向 / dt = 方向 * FPS

在普通模式中，FPS 约为 30，可见，在这个程序中，角色的水平速度是一个不变的数值，而垂直速度就由角色的方向决定了。

而“重复执行”中，每次又将方向的值减小1，也就是 “左转(1)度”。相当于让垂直速度不断负增长，这就制造了抛物线运动的效果。

仿照刚才的分析，我们知道 dt 时间内，方向的增量是 -1，即：

d(方向) / dt = -FPS

将刚才得到的 “ 垂直速度 = 方向 * FPS ” 代入，有：

d(垂直速度) / dt = -FPS * FPS = -FPS²

上述关系，也就是我们的这个抛物线模拟程序中，时间增量与坐标增量，以及时间增量与速度增量的数学关系。

这些各个变量的增量，不严谨地说，也常被称为各变量的“微分”，如时间微分 dt、坐标微分 dx、dy 等。而你最终看到的，是把每一次细微变化累积起来的效果，也就是苹果做抛物线的运动。

循环体中的三个操作，实际上是设定了 dx、dy、dt 之间的关系，相当于构造了运动的微分方程。我们构造的微分方程符合物理学中自由落体的运动定律 d²y / dt² = -g，因此，程序运行效果也看上去像真实的落体一样。

在计算机编程中，我们可以用足够小的每次增量和足够多的次数，去模拟一个真实世界中的连续过程，正如这个抛苹果的程序，以及后续例程中的简谐振动、波动等等。这就有牛顿微积分思想的影子在其中。此类仿真方法也被称为计算机数值模拟。

牛顿和莱布尼兹几乎彼此独立地提出了微积分的理念，但也为谁更早发明微积分的荣誉而争执起来，吵得不可开交，连带欧洲大陆和英国的学术界都一度对立起来。无论怎样，微积分提出后，人类能够分析、计算的领域被极大扩展，推动了 17、18 世纪科学进一步向高水平发展。