上篇 我们提到，聪明的瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在年仅 20 岁时就解决了巴塞尔问题，从而一举成名。从那以后，欧拉成为了数学界的天王巨星，对 18 世纪数学发展起到了重要的引领作用。

欧拉一生著作颇丰，以欧拉名字命名的公式就有几十条之多。今天这集故事，我们就介绍一个在数学中很重要的数字 —— e，也称欧拉数，或自然对数的底。

还是为了让低年龄的小朋友看到乐子，我们又编造了一个风马牛不相及的故事。

说白雪公主和王子完婚后，想感谢曾经收留她的七个小矮人。她从柏林买了七瓶神奇增高药水，每瓶 100 毫升（mL），快递到了小矮人居住的德国中部森林中。

增高药水的用法是这样的：每天晚上入睡前服用几毫升，第二天醒来身高就会增长百分之几。这里有一个公式：

每晚身高增长的长度 = 入睡前的身高 × 当晚服药的毫升数 ÷ 100

例如，假设入睡前身高是 80 厘米，睡前服用 10 毫升，第二天身高就会增长 10%，80 × 10 ÷ 100 = 8，也就是长高 8 厘米，第二天身高变成 88 厘米；

假设入睡前身高是 90 厘米，睡前服用 20 毫升，第二天身高就会增长 20%，90 × 20 ÷ 100 = 18，也就是长高 18 厘米，第二天身高变成 108 厘米；

假设入睡前身高是 70 厘米，睡前一口气喝掉整瓶 100 毫升，第二天身高就会增长 100%，也就是长高 70 厘米，第二天身高变成 140 厘米。

小矮人可以选择一个晚上喝掉整瓶药水，也可以选择分成几天，每晚只喝一点儿。那么问题来了，小矮人要不要分成几天喝，以便让最终身高长得更高？

一天喝完，还是分几天喝完，最终结果不一样吗？如果你不亲手算一算，恐怕还不相信呢！白雪公主找到了正在柏林科学院访问的欧拉，向他请教这个问题。

下面我们就用一个 Scratch 程序计算一下几种方案的差别。

小矮人 1：1 天喝完 100 毫升；
小矮人 2：分 2 天喝完，每晚 50 毫升；
小矮人 3：分 4 天喝完，每晚 25 毫升；
小矮人 4：分 5 天喝完，每晚 20 毫升；
小矮人 5：分 10 天喝完，每晚 10 毫升；
小矮人 6：分 20 天喝完，每晚 5 毫升；
小矮人 7：分 100 天喝完，每晚 1 毫升。

代码量：24块积木

素材：

点击 这里 下载白雪公主和小矮人的 .sprite3 文件。

小矮人在场景中只需上传 1 个，其他 6 个我们在代码中通过克隆的办法产生。

欧拉仍然选用 Scratch 内置角色 Witch（此角色无代码）。

舞台背景： Scratch 内置背景 Castle 3。

变量：建立一个变量 i，代表每晚服用的毫升数，放到画面右上角。

代码：

解释：

点击绿旗子，复制出 6 个小矮人克隆体。

点击某个小矮人，会询问分几天喝完药水。

然后，将变量 i 设为 100 除以天数（回答）。比如分 5 天喝，每天服用的量 i 就是 100 ÷ 5 =20 毫升。

计算的部分，重复执行回答的天数次，每次执行将大小增加（大小 × i ÷100）

小矮人的初始大小都是100，看看执行后大小最终是几。

运行：

结果：

通过运行这段程序，我们可以发现，天数分得越多，小矮人最终的身高越高，但是似乎有个极限。如果天数键入 1000，耐心等待程序运行完，小矮人最终的身高将达到 272；尝试更多的天数，最终身高也不会再高了。这个最终极限身高（约 272）和初始身高（100）的比值，也就是欧拉数，约为 2.72。

在数学中，它也被称为自然对数的底 e，精确数值等于 2.71828… 它是一个无限不循环的小数。

在自然界、工程、金融等领域，经常有某些变量按固定比率连续增长的情况，和我们编造的“小矮人喝增高药水”的故事类似。在这类情况中，e 经常会作为重要的常数出现，人们为了纪念欧拉对数学的贡献，把 e 命名为欧拉数。