Scratch趣味程序:伯努利试验

在本站之前的 Scratch 趣味程序系列里,我们介绍过几位数学家——笛卡尔莱布尼兹达朗贝尔。后来我想到,写一个 Scratch 数学家系列应该也是很有意思的题材。所以,从这集开始,我将制作一系列趣味数学程序,并介绍它们背后的数学家们。

系列的难度定位于让幼儿园小朋友能够录入且看到热闹,而真正理解需要中学、大学的知识,以此“诱导”小朋友对高等数学建立感性认识和学习的期待。

本集的主人公,严格来说是一个数学家家族——伯努利家族。他们生活在 17世纪末、18世纪初的瑞士,在著名的城市巴塞尔从事学术研究。

伯努利家族的第一代数学家是雅克布·伯努利和约翰·伯努利兄弟,哥哥雅克布生于 1654 年,弟弟约翰比哥哥小 13 岁,他们都有很高的数学造诣,经常出难题考对方。其中,最有名的一道题是这样的:一条柔软的绳子,长度不能拉长,问用绳子围成什么样的图形,围起来的面积能够最大。当然,绳子围合时必须闭合,不能留开口。这就是著名的“等周问题”,它是由雅克布提出、约翰解答的。聪明的小朋友可能会猜到答案——圆形,但要用严格的数学逻辑证明它,可并不容易,需要用到大学甚至研究生数学的知识。

伯努利家族和我们之前讲过的莱布尼兹关系很好,约翰·伯努利经常和莱布尼兹通信,讨论微积分问题。在莱布尼兹和牛顿争论微积分到底是谁先发明的时候,约翰·伯努利坚定地支持同为欧洲大陆数学家的莱布尼兹,对英国的科学巨匠牛顿进行过声讨。

约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利也是杰出的数学家,他和他的伯父雅克布都在概率论上做出过很多贡献。

所谓概率事件、随机事件,就是一件事或者发生、或者不发生,或者结果是这样,或者结果是那样。最典型的例子就是扔硬币,硬币落到手心里,或者是正面(数字)朝上,或者是背面(图案或人头)朝上。

人们为了纪念伯努利对概率论发展做出的贡献,把扔硬币这类只有两种可能结果的随机事件称为“伯努利试验”。

在 Scratch 中,我们很熟悉一些制造随机性的方法,例如使用“移到(随机位置)”积木,或者使用“(1)到(10)之间的随机数”。

在这集中,我们就通过组合“(1)到(10)之间的随机数”和“()  >(5)”,来制造一个“伯努利试验”。这个结果就像扔硬币一样,或者大于 5 成立,或者大于 5 不成立。

我们背景放一个跳棋棋盘,初始时让小猫在左边的端头,如果伯努利试验成立,就让它往右上跳 1 格,否则就往右下跳 1 格。如此连跳 6 轮,看它最终能够落到哪里:

Bernoulli trial
伯努利试验跳棋

舞台背景

bernoulli.svg,请 点击这里 下载矢量文件,并上传到你的舞台背景中。

舞台背景

角色

(1)Sprite1(小猫),把大小设为 30

(2)Paddle,Scratch 内置的横条。(我们通过一组横条,统计小猫的最后一步落到各个位置的次数)

代码

Sprite1:

伯努利试验-代码1

注:需要新建一条叫做 “check” 的消息

Paddle:

伯努利试验-代码2

运行

小猫跳 6 步后,最终落的位置有 7 处可能。那么小猫走到这 7 处的可能性都是一样的吗?

以上程序会重复 100 次,每次最终落到哪个格子,那个格子上的横条就会大小增加 10。看看哪里落的次数多(最终到那里的可能性高),哪里落的次数少(最终到那里的可能性低)吧。

可以发现,小猫最终到中间的次数(几率)明显较多,到两边的次数(几率)明显偏少,这是怎么回事呢?

发表评论

电子邮件地址不会被公开。