复数是在初中就出现了的数学概念，但若有调皮的学生问，“复数这么麻烦，到底在现实中有什么用啊？”，恐怕不是每位初中数学老师都能给出让好事者满意的回答。

记得我上初中时，老师对这个问题就自问自答了一番，但结论竟然是，他特意问过他的一个大学同学，说复数这玩意儿在造飞机的时候有点用。这是90年代末北京的重点中学，这位老师还是区中考命题组成员，也是我最敬爱的老师之一，不过要是放在今天，小孩子们肯定不会放过他了。

应该说，作为中学生，最大的困惑就在于复数和平面解析几何中的二维坐标感觉上是近似的东西。甚至有不少人就这样去简化解读复数的现实意义，说实数是描述一维的空间，复数升到了2维空间。或者再稍进一步，说复数相乘可以表示2维向量的旋转、放缩，给求解平面几何问题带来便利。

这种解释其实消除不了稍微喜欢思考的学生的困惑，那就是，即使没有复数这个工具，平面解析几何的体系也是完备的，矢量有加减的定义，坐标旋转也可以用三角函数表出，那复数是不是只是可有可无、锦上添花的便利小工具。

要把这个问题深挖一步，又不至于对中学生太过深奥，我想可以从以下两个方面起个头，引导他们对日后高等数学的学习建立起期待。

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第一，抽象来说，复数也是一个数域，所谓数域就是定义了“性质良好”的加减乘除运算，因此很多原来定义在实数上的函数，也可以拓展定义到复数上，并展现出更强大的数学性质，成为纯数学、物理、工程研究中必不可少的工具。

复数是数域这一特性，是二维向量所不具备的，二维向量对加、减法封闭，但是没有定义乘、除法。如果硬要把内积、外积作为乘法的话，内积、外积的结果不再是二维向量，因此不是封闭运算。

只有对加减乘除运算封闭，以及满足其他成为数域的条件，才可以把多项式、幂函数、指数函数等的定义域扩展。特别是指数函数 e^x，把它的定义扩展到复数域上，我们可以用 e^x 的麦克劳林级数，即：

e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + … + o(xⁿ)

把 x 换成复数，由于麦克劳林级数是多项式，每一项都可以代入复数计算，因此，e^x 就成了以复数为自变量的复变指数函数。

特别是，通过比较 e^x、sin(x)、cos(x) 的麦克劳林级数，同时利用单位虚数 i² = -1 的特点，可以发现：

e^iθ = cosθ + i sinθ，特别地，e^iπ = -1

这不是一个定义，而是一个定理，被称为欧拉公式，只是由于没有介绍无穷级数时，不能证明它，而容易让初中生误认为它是 e^iθ 的直接定义。欧拉公式在数学分析中具有极其重要的作用。

例如，实函数的傅里叶变换（即把任何连续的周期函数 f(t) 用一组各种频率的三角函数级数合成），可以扩展到复函数（定义域是实数，但值域是复数的函数）上，这正是利用复变指数函数与三角函数的关系，让傅里叶变换在数学语言上更精炼。而傅里叶变换在很多工程领域的计算中不可或缺，傅里叶也是在研究热的传导时提出的这种分析工具。复数在工程计算中应用广泛，想必这也是那位老师说造飞机时用得着复数的原因。

复数在数论研究中也有重要的基础性作用，当今尚未被公认证明的最重要的数学猜想之一，黎曼猜想，研究的就是一个被称为黎曼 ζ 函数的复变函数：

ζ(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + …  其中，自变量 s 为复数

黎曼猜想为 ζ(s) = 0 的所有非平凡零点都位于复平面上 s 的实部等于 1/2 的临界线上。

这类数论领域的命题与素数分布及性质有着很强的关联，是现今各种数字加密、签名算法的理论基础，可以说，它直接关系到你所有账户和电子钱包的安全。

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第二，是利用复数的模和辐角，可以用一个复函数准确地表述一组波动。如果上一条抽象的解答让初学者摸不着头脑，那这条则是可以形象描绘的。

我们知道，对于一组波动而言，最重要的特征是振幅和周期（波长）。如果让你只用一个函数 ψ(x) 描述一组波动，你不能只让 ψ 表示振幅，那样周期性将被完全忽略：

也不能只让 ψ 表示相位，那样将忽略波的幅度在空间中的分布情况：

如果让 ψ 表示波动的位移（实数），虽然既能看到一些振幅的分布，也能看到一些波动的周期性，但位移值既不是振幅、也不是相位：

根据各处的位移值，你只能近似地估计波的振幅分布（如绘制包络线）和波长（频谱分析）。这种估计是有不确定性的，例如在上图中，你很难说在 x = 0 的点，波的振幅是多少。有可能那个位置振幅最大，也有可能那个位置振幅永远是 0。因此，让 ψ 表示波动的实数位移值也不是一个描述波动的准确方案，它同样丢弃了一半的隐含信息。

但如果你用复函数，情况就不一样了。复数的模表示振幅，辐角表示相位，这样就能囊括一组波动的全部信息。

因此，在电气工程领域（处理电磁波、信号），和量子物理领域（处理物质波），人们经常需要用到复函数描述一组波动。所以微观粒子的薛定谔方程就是复函数的偏微分方程。而依据薛定谔方程给出的力学量的计算值，可以被大量物理实验证实，这足以作为“复数具有现实意义”的一个例证。

如果没有发明复数这种数学工具，而必须将薛定谔方程改写为实数的微分方程组的话，那么量子力学中种种计算的复杂程度会翻不止两倍，最终也会在这个时候倒逼出复数这种数学结构。因此，如果有人说“所有微观物质的状态，本质上就是复函数”，也是有一定合理性的。既然物质都是复数，那也就不用担心复数在现实中没有用处了。

最后，如果你还是怀疑用复函数表示波只是为了方便计算，那么在狄拉克方程中，复数就成了必然出现的数学概念。狄拉克方程是考虑了相对论效应后，微观粒子的物质波方程。由于相对论效应使能量算符总是带有平方项，人们在很长时间内都没能找到一个像薛定谔方程（非相对论的量子力学）那样的线性微分方程。狄拉克对 E² 的表达式进行了一个开根号运算，但为了打开根号，必须通过引入含虚数 i 的狄拉克矩阵，凑出完全平方式。狄拉克方程的推论得到了很高精度的实验验证，并且成功预言了电子的自旋和反物质。杨振宁曾评论说，量子物理的全部玄妙就隐藏在复数之中。

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杨振宁还有一个观点，那就是一切优美的数学结构最终一定会出现在物理中。他提出杨-米尔斯方程就是这样的例子，黎曼几何也是先于广义相对论被提出。因此，对于基础数学来说，只要内在结构、逻辑精妙，大可不必担心理论没有用武之地，只是现时的人们能不能慧眼识珠而已。