用Scratch讲幼儿物理:电子云

(26)电子云

Scratch趣味物理-电子云 平面波

平面波

Scratch趣味物理-电子云 1s

球对称的波

Scratch趣味物理-电子云 2p

哑铃型的波

上集中,我们带小朋友制作了一个符合达朗贝尔方程的波动模式。那种波动看上去很自然,是因为大自然中很多物理情景都能够用达朗贝尔方程描述。

特别是电磁波,我们之所以能用手机和遥远的外婆通话,就是因为空间中的电磁场,也像上集骑着滑板的达朗贝尔一样,能够传导波动。甚至每一束光线,也是一列电磁波。

今天我们要介绍的,是另一种更有意思的波动——微观粒子的物质波。

回忆得我们在卢瑟福散射那集里,介绍了一个物理试验结论:物质的大部分质量,都集中在尺寸极其微小的原子核上。而一个个原子核之间空空荡荡,我们知道,那是电子出没的广阔区域。

关于电子如何在原子核之间的空间里运动,1910~1920 年代的科学家做出过很多种猜测,其中比较成功的要算丹麦物理学家尼尔斯·玻尔的行星模型。他假设电子围绕原子核公转,就像地球围绕太阳公转一样。

到了 1920 年代中期,人们陆续发现了这个假说的很多缺陷,导致一些杰出的思想家,如法国的德布罗意、德国的海森堡、奥地利的泡利和薛定谔,开始重新构建另一种截然不同的微观物质模型。

德布罗意提出,像电子这样的微观粒子,有时候不能把它想象成一个实心小球,而要把它看成一种波动。这是受爱因斯坦“光子说”的反向启发,爱因斯坦在 1905 年提出光波可以被看成光子的喷流,德布罗意则正好倒过来,要人们把实物粒子也看成一种波

不久之后,海森堡提出了“测不准原理”,简单来说,就是像电子那么小的微观粒子,我们是永远抓不住它们的。因为任何想抓它们的工具,都比它们的尺寸大太多了。这就像吃火锅时,用棒球棒在沸水里捞鱼丸,一碰鱼丸就跑了,永远捞不到。

那么,要怎么样才能用数学的语言描述这种“抓不住”、“测不准”、又像小颗粒、又像波动的微观物质呢?

我想不能再讲废话了,我们先进入今天的程序。

代码量:17 + X 块积木

(X 是额外的积木数,平面波 10块、球对称的波 11块、哑铃型的波 26块)

素材

电子

电子的幻影 elec.png

场景布置

Scratch趣味物理-电子云 第1步

上传角色 elec.png 和内置角色 Crystal (用于表示原子核,没有代码)。

背景使用 Scratch 内置的 Stars。

将 elec 的大小设为 50。

基础代码

elec 的基础代码,共 17 块积木:

Scratch趣味物理-电子云 第2步

其中,deBroglie 是一块自制积木,它的定义如下,共 10 块积木:

Scratch趣味物理-电子云 第3步

运行效果

Scratch趣味物理-电子云 平面波

讲解

刚才说微观物质“抓不住”、“测不准”、又像小颗粒、又像波,为了找到一幅符合这种描述的画面,我们想象,空间中漂散着电子的“幻影”。别看屏幕上有这么多鬼影,实际上它们都是 1 个粒子的“幻影”,像精灵一样,它分身有术。

凡有幻影出现的地方,都是我们在物理试验中,有可能观测到粒子的地方。哪个地方的幻影大小越大,在这个地方找的粒子的可能性就越高。但在实际观测之前,你永远说不准将在哪个精确位置找到它,体现了海森堡的不确定性原则。

每个地方的幻影都在旋转着,正是这种旋转制造了一种波动的模式。程序中为有角度的幻影增加了虚像特效,这样可以很明显地看到一股股波浪从左往右涌动。

这种波动模式是数学家、物理学家非常熟悉的平面波。由于是德布罗意最先提出要把粒子看成波,因此,这种波就以他的名字命名,被称为德布罗意波

由于物理学家们早知道可以用复数函数描述波,因此,物质波也被抽象为了复数函数。

复数,除了像普通数字(实数)一样有大小,每个数字还有一个“角度”,称为辐角。辐角为 0° 或 180° 时,复数就是普通的实数。辐角为 90° 或 270° 时,我们称它们为虚数。

最有名的虚数是 i,它的大小是 1,辐角是 90°。它在数学上有一个特性,就是两个 i 相乘等于 -1。

虚数和复数也有加、减、乘、除的运算,并且具有很多神奇的数学性质,利用这些数学性质,复数正好可以描述微观物质的行为。

相信小朋友已经发现了,复数和我们 Scratch 里的角色属性有点像,每个角色的属性里,都有大小、有角度,这不正好就是复数吗。

是的,我们定义自制积木 deBroglie,实际上就是根据幻影当前所处的位置(坐标、到 Crystal 的距离等信息)和时间(计时器),计算他们的大小和角度。事实上,这类自制积木就是刚才介绍的复数函数。

用数学语言表示,我们的 deBroglie 函数就是:

ψ(x, t) = 50 e^[-i (x – 180 t) π / 180]

它的波长固定为 360 单位,频率为 0.5 Hz。

更多波动模式

平面波是最简单的波动模式,尤其是波长单一的平面波。现实中的波会呈现各种组合模式。

动手编过前 2 集程序的小朋友可能会有这个疑问,既然出现了波动的模式,我们前两集都是先给出了波动的微分方程(如达朗贝尔方程),然后就自然制造出了波动的效果,那么这集的微分方程在哪?

这也正是薛定谔想回答的问题。既然波函数都写出来了,那么是什么波动方程,决定了物质波有这样的波函数呢?

1926 年,薛定谔应导师要求,对这个问题进行了研究。他发现,用下列方程,可以得到任意一个势场里粒子的波函数:

(- ħ²/2m) ∂²ψ / ∂x² + U(x, t) ψ = iħ ∂ψ/∂t

上式是在一维情形中的表达。

这个复函数的偏微分方程,就称为薛定谔方程

由于 Scratch 中不支持复数的运算,因此很遗憾,我们没有再尝试直接基于薛定谔方程去构造波动。

但是,对于一些简单的情形,数学家已经给出了薛定谔方程的精确解。如氢原子核外电子的情况,以下两种函数,都是氢原子核外电子可能具有的波函数:

Scratch趣味物理-电子云 1s轨道代码

运行前,在 elec 的基础代码中,将 deBroglie 积木替换为这个新定义的 psi1s。

这个函数对应的是氢原子最内侧轨道的波函数。其中第2行的参数 -40,不看负号,就是我们程序中设定的氢原子的玻尔半径,即原子的经典尺寸。在我们程序里,玻尔半径设定为 40单位。从运行效果上,也可以看到幻影们在原子核外围聚集成一团,半径大约为 40:

Scratch趣味物理-电子云 1s

还有更复杂的 psi2px 函数:

Scratch趣味物理-电子云 2p轨道代码

运行后,可见幻影在原子核两侧形成 2 团:

Scratch趣味物理-电子云 2p

这也是氢原子核外电子的一种可能轨道,称为 2p 轨道,由于是围绕 x 坐标轴分布,因此也记为 2px 轨道(实际三维空间中的 2p 轨道还有 2py、2pz 轨道)。这个轨道比 1s 轨道具有更高的能量,只有被激发 1 个能级的电子,才有可能进入这个状态。

氢原子核外电子可能的波函数还有很多,这里就不再一一介绍了。

如果有人能以上帝模式“看到”原子核外电子的鬼影,大概就是上边这些样子。人们也把这种成团的鬼影,称为电子云

注意,1 个单电子就有无穷的幻影和成团的电子云(我们程序只是“点到为止”地克隆了 50 个鬼影)。而不是说很多个电子像苍蝇一样,聚集在一个轨道内。事实上,根据泡利不相容原理,同一个轨道内最多只能容下 2 个电子交织在一起的鬼影,前提是这 2 个电子的自旋方向相反。鬼影也有一种排斥力,只要一团鬼影占据了一个轨道,同样的鬼影就不能再使用相同的轨道。

我们坐在椅子上,椅子支撑我们屁股的力量,就来自这种电子云之间的排斥压力。一颗恒星在核燃料耗尽、不再产生新的核能时,也是靠这种电子云之间的排斥压强,维持着一定尺寸,对抗万有引力引起的坍缩。这称为电子简并压。靠电子简并压维持的终老年恒星,就是白矮星。

另外,从最后一个动图上还可以发现一个有意思的现象,就是原子核两侧对称位置的电子幻影总是相反的(复数的数值互为相反数),我们用颜色进行了标记。这种波函数,称为具有奇宇称。而像 psi1s 那种两侧对称位置数值相同的波函数,称为具有偶宇称

宇称也是一种可测量的物理量,而且它只在量子世界里出现,在宏观世界无法找到与之对应的物理量。你盯一盯这几个动图,才能够想象到宇称为何物。

人们曾一度认为在粒子反应中,宇称是守恒量,因为物理学中有一个基本规律,就是只要存在一种对称性,就会出现一个守恒量。宇称守恒对应的对称性是空间镜像对称,之前没有人怀疑物理规律在空间坐标反转后会不一样。

华裔物理学家杨振宁和李政道最先质疑这一点,他们指出,在有弱力(大自然四种基本作用力之一)参与的核反应中,宇称守恒会被破坏。刚才我们说到的奥地利物理学家泡利完全不相信这个假说,他表示,愿意和别人打很大的赌,赌物理试验得不出杨振宁预言的结果。

结果在 1957 年,同样是华裔的物理学家吴健雄完成了这个试验,证实了杨振宁和李政道的猜想。三人都因此获得了诺贝尔物理学奖。

泡利在知道试验结果后,幽默地表示,幸亏没有真的下赌注,不然自己输不起钱,因为自己没有钱。像这样输一些名誉,还是输得起的,因为自己的名誉太多了。这就是大师们的谦虚和风趣。