(25) 《滑板少年达朗贝尔》续：传导的波动
孟子有云“独乐乐不如众乐乐”，达朗贝尔一个人滑滑板有点孤单，若是 5 个人一起滑，会不会产生一些有趣的模式呢。
在本集中，我们终于要解释为什么让达朗贝尔做这两集的模特。这是因为，本集展现的波动行为，就是由数学上的“达朗贝尔方程”所决定的。
在上集中，我们只有 1 个角色，它自己的上下摇摆，只能叫振动。而有了多个角色之后，振动可以在角色之间传导，这种群体的运动模式，被称为波动。
听起来高深，编起来不难，本集的代码量：18 (多次复制) + 8 块积木，来吧！
素材：
还是帅气的达朗伯：
dAlembert.png
舞台背景：Scratch 内置的 Circles
角色的复制和场景布置：
首先我们先上传 1 个 dAlembert.png 角色，将其大小设为 50，方向设为 0，并放到屏幕左侧中部。
然后，在只有这一个角色的时候，搭建它的基础代码（18块积木）：
注意，在搭建好上述代码之后，再在角色浏览窗口中，在 dAlembert 的图标上单击右键，然后选择“复制”，复制该角色，如下图所示：
复制后，会出现一个 dAlembert2 角色，这个角色将自动具有我们之前创建的 18 块基础代码，免去了重复录入的麻烦。
然后，在屏幕上移动 dAlembert2 角色，把它摆到第一个 dAlembert 旁边不远处。
按这个办法再复制出 dAlembert3、dAlembert4、dAlembert5，每复制一个，就及时将它们按顺序排列好，成为一横排。
不要一次性复制太多，以免分不清谁是2、谁是3、4、5。
排列后如下图所示（位置稍微有点偏差没有影响）：
这时候如果直接点绿旗子运行，已经可以看到 5 个滑板少年自动回归中位的效果。
加入关键的 8 块额外积木：
要制造传导效果，需要加入神奇的 8 块额外积木，下面需要集中注意力，跟着指导逐步操作。
先点击最初的第一个角色，即 dAlembert，加入下图中红圈内的“（[dAlembert2] 的 [y坐标]）”积木，该积木是由“侦测”栏目中，“（[舞台背景] 的 [# 编号]）”积木修改而来的：
↑ dAlembert 代码的修改
然后，依次对 dAlembert2、3、4、5 角色添加以下红圈内的积木，一定看准角色编号哦，还要注意都是的“ [y坐标] ”，不要选错。
↑ dAlembert2 角色代码的修改
↑ dAlembert3 角色代码的修改
↑ dAlembert4 角色代码的修改
↑ dAlembert5 角色代码的修改
其实规律并不复杂，对每个角色来说，我们添加的，都是它旁边紧邻的 2 个邻居的 y坐标。对于开头和末尾的角色，自然只有一个邻居。
好嘞，这就大功告成了！可以随便点击一位达朗贝尔角色，看看波动是如果传导演变的吧。
运行：
如果你点最左边的达朗贝尔，你可以发现波动是从左向右传播，正如开篇的动图一样。
如果你点最右边的达朗贝尔，情况正好反过来，可以发现波动是从右往左传播。
如果你仔细观察，波动传播到最边缘后，还会有反射，然后反射波和入射波相互影响，我们在物理中称为干涉，最终在阻尼作用下，各处的振幅都逐渐减小，波动趋于停止。
本程序背后的数学模型就是“达朗贝尔方程”，它在物理中十分常见，从水波、声波、地震波到电磁波、光波、量子物理中的物质波，都有达朗贝尔方程的踪影。因此，程序运行的效果也很像仿真的物理行为。5 个达朗贝尔如同都漂浮在水面上，受到水波影响。
为高年级小朋友的讲解：
像前几集一样，我们还是可以详细解释一下程序中的运动在每次“重复执行”中的逻辑，以便一窥波动现象背后的数学：
以 dAlembert2 角色为例，我们看“重复执行”中的代码。
和上集分析一样，我们知道每次执行，时间都将流逝 dt = 1/FPS
FPS 是动画的帧率，即 1 秒内动画的帧数（也是 1 秒内重复执行的次数），换句话说，上面的关系也可以写成 1 / dt = FPS
然后还是老把戏，用角色的方向作为代表它垂直速度的变量。
体现垂直速度的，就是每次执行时，y坐标的增量，记为 dy，有：
dy / dt = (方向/10) * FPS
如果我们把 y 看成由角色所在处的 x坐标，以及时间 t，这 2 个自变量决定的函数。对于其中一个自变量的导数，称为偏导数，上式又可以用偏导数的符号“∂”，记为：
∂y / ∂t = (方向/10) * FPS
方向 = 10 * ∂y / ∂t / FPS
在这集中，每次执行，方向的增量比较复杂，由四行代码确定。上图红圈中的三行，可以称为“拉普拉斯”运算部分，后面单独的一行，称为阻尼运算部分。
阻尼的作用是让体系保持稳定，不至于出现自我激发、崩溃，这不作为分析的重点。
我们重点看拉普拉斯运算部分。它是右转2次，左转1次。实际上，这因为是写在一行中太长，用的加减积木太多，容易出错，人为拆成 3 行代码的。
实际上逻辑很简单，就是两个邻居的 y坐标加起来，除以 20，作为右转的量（即方向的增加量）。自己的 y坐标，除以 10，作为左转的量（即方向的减少量）。如过分别把左邻的有坐标记为 y左、右邻的y坐标记为 y右，有：
d(方向) = (y左 + y右) / 20 – y / 10
= (y右 – y) / 20 – (y – y左) / 20
在我们的布局中，每 2 个角色的水平间距大约是 100 单位，我们记为 Δx。
我们把 (y右 – y) / Δx，记为 ∂y / ∂x （右半），即 y 对 x 的偏导数，在右半边的值。
(y – y左) / Δx，记为 ∂y / ∂x （左半）
∂y / ∂x （右半） 减去 ∂y / ∂x （左半），再次除以 Δx，就是 y 对 x 的二阶偏导数：∂²y / ∂x²
因此，d(方向) 可整理成：
d(方向) = ∂²y / ∂x² * Δx² / 20
代入 方向 = 10 * ∂y / ∂t / FPS，得到：
d(10 * ∂y / ∂t / FPS) = ∂²y / ∂x² * Δx² / 20
等式两端再除以 dt = 1 / FPS，得到：
∂(10 * ∂y / ∂t / FPS) / ∂t = ∂²y / ∂x² * Δx² * FPS / 20
整理，得到：
∂²y / ∂x² – (200 /Δx² / FPS²) * ∂²y / ∂t² = 0
我们令 c² = Δx² * FPS² / 200
上式化为：
∂²y / ∂x² – (1 /c²) * ∂²y / ∂t² = 0
这便是达朗贝尔方程。它所描述的运动模式，是自然界中非常普遍的波动现象。
达朗贝尔方程是一个二阶偏微分方程，关于如何求解可以参见本站《10个带人们走向现代的物理公式》的第2节。
这里只介绍结论，c 是波动的传播速度，传播方向有沿 x 轴正向、负向两种。在本集中，
c = Δx * FPS / sqrt(200)
对于角色间隔 Δx = 100 单位，动画帧率 FPS = 30 Hz 的情况，c 大约为 212单位/秒。在我们程序中，一个脉冲波从左端传递到右段，大概需要 2秒钟。
小朋友们可以试试，看试验结果是否和数学分析相吻合。