（24）滑板少年达朗贝尔

本集我们再请一位数学家登场，做程序里的模特。这位踏着滑板出来的，就是生于 1717 年的法国大数学家、物理学家、天文学家，让·勒朗·达朗贝尔（Jean le Rond d’Alembert）。

请数学家有个好处，那就是他们老人家的肖像大多已经在公共版权领域中了，大概没有侵权可言。相比起来，僵尸就要危险多了，如果哪天 Popcap 较起真来，本站还要把它们统统撤换下去。

本集的代码很短，但却模仿了一种物理中的运动——简谐振动。回忆在《投篮球》那集，我们也用不长的代码模拟了抛物线运动。这集可以看作是姐妹篇，我们定义了另一种运动的微分方程，构造出了“简谐振动”这种运动模式。

高年级同学可以注意，本集没有使用任何三角函数，却也画出了正弦曲线，背后的数学原理，要到大学才能明白。对于幼儿园的小朋友们，你们可以按上、下键，推达朗贝尔滑得更高，甚至翻出筋斗来。

代码量：18 块积木

素材：

帅气的达朗贝尔 dAlembert.png

舞台背景：Scratch 内置的 Slopes

添加扩展：画笔

代码搭建：

dAlembert:

讲解：

严格来说，我们的角色是在竖直方向上做简谐振动，在 x 方向上是在匀速向右移动。

如果要只显示简谐振动的效果，不显示水平的漂移，可以把“将x坐标增加(  )” 里的数字改为 0。

程序里让达朗贝尔在竖直方向简谐振动的同时水平漂移，是为了让他画出正弦曲线（波浪线）。

这集我们还是用了跟以前一样的老把戏，用角色的方向作为记录它垂直速度的变量。只不过稍微有点复杂的是，这次我们对方向进行了一个除 -10 的运算，以 （方向 / (-10)）作为角色的垂直速度。

如果你对程序背后的物理和数学感兴趣，不妨琢磨一下“重复执行”循环体内，每次代码的逻辑：

在每次执行中，会进行以下 3 个操作：

将 x 坐标增加 1 ；
将 y 坐标增加1个“垂直速度”
—— “将 y坐标增加 (方向 / (-10))”
将“垂直速度”减少一些，具体的减少数量和 y 坐标有关
—— “右转( y坐标 / 20 )度”。

还有一个隐含的变化，那就是每一次循环也会消耗一个很短的时间 dt = 1 / FPS。FPS 是动画最终的帧率，一般为 30~60帧/秒。

换句话说，1 / dt = FPS，它就是一秒内动画的帧数。

我们如果用 dx、dy 表示每次执行中，x、y坐标的增加量，那么有：

dx / dt = 1 * FPS
dy / dt = (方向 / (-10)) * FPS

用 d(方向) 表示每次执行中，方向的增加量，有：

d(方向) / dt = y / 20 * FPS

由 dy / dt = (方向 / (-10)) * FPS，可以知道：
方向 = -10 * dy / dt / FPS

因此 d(方向) 也可以写成
d(方向) =
d(-10 * dy / dt / FPS) = -10 * d(dy / dt) / FPS

又由 d(方向) / dt = y / 20 * FPS，可以知道

-10 * d(dy / dt) / dt / FPS = y / 20 * FPS

即：

d(dy / dt) / dt + y * FPS² / 200 = 0

我们在数学上，把 dy / dt 称为 y 对 t 的导数，d(dy / dt) / dt 称为 y 对 t 的二阶导数，也记为 d²y / dt²，因此上面的方程也记为：

d²y / dt² + y * FPS² / 200 = 0

这是一个二阶齐次常微分方程，它描述的运动就是简谐振动。

如果我们代入 dx / dt = FPS，还可以化为对 x 的微分方程：

d²y / dx² + y / 200 = 0

该方程描述的就是达朗贝尔的运动轨迹。也就是我们画笔画出来的波浪线 —— 正弦（余弦）曲线，它有固定的波长（从一个最高点，到下一个最高点之间的距离），为 2π * sqrt(200) ≈ 89。这个波长的数值和振动的振幅及动画的帧率都无关。

在我们的程序中，达朗贝尔的 x坐标从  -205 增加到 240，移动了 445 个单位，正好是波长 89 的 5 倍。因此，达朗贝尔总是画出 5 个完整的“波形”。

无论初始时滑得猛烈，还是滑得柔和，只要你不按上、下键人为干预，他总是滑出 5 个完整波浪，这就是数学的神奇，小朋友们可以试试吧。