10个带人们走向现代的物理公式(五)

上接第四篇

10、广义相对论场方程和它的史瓦西解

爱因斯坦场方程:

Rik – (1/2)gikR = (8πG / c⁴) Tik

 

史瓦西度规(以上方程在真空中的球对称的解):

ds² = (1 – rg/r) c²dt² – (1 – rg/r)⁻¹ dr² – r² dθ² – r² sin²θ dφ²

其中 rg = 2GM/c²


回顾本系列前几篇,由于假定读者是先修了大学一、二年级数学课程(基本的微积分、线性代数、概率论知识)的中学生,我们在前 9组物理公式的介绍里,有的做了不严谨的推导,有的在其基础上做了一些推演。但面对显然是“带物理学走向现代”的广义相对论方程,却实在没办法在一篇短小的网文中说出个头绪来。

就算是公式里的某一两项,拿出来讲的话都要补充很多复杂的背景数学概念,才能知道是什么含义。即便是爱因斯坦和希尔伯特,也花了数年、数个月的时间去推演,甚至不断出现错误。

据说,在1915年末,爱因斯坦还与希尔伯特在推导引力场方程上出现了竞争。爱因斯坦那时已经形成了广义相对论的基本理念,并在数学家帮助下,将黎曼几何作为描述广义相对论时空的基础。但关于引力场方程的推导,爱因斯坦曾一度忽略了 -(1/2)gikR 一项,也因此给出过一些错误的预言值。

到1915年末,爱因斯坦发现了这个问题,并急于进行修正。听过爱因斯坦几次讲座的希尔伯特,这时也把研究精力转到了引力的几何理论上来。这让爱因斯坦大为紧张,因为希尔伯特既是著名的物理学家,也是大数学家。让爱因斯坦花了几年时间才掌握的黎曼几何,对希尔伯特而言则是轻车熟路。如果希尔伯特先写出了引力场方程的正确形式,对爱因斯坦而言,无疑是个巨大的悔憾。

关于这段历史,卢昌海先生有一篇有趣的介绍,值得读者一读。最终,还是爱因斯坦领先一程,在 1915 年 11月 25 日向普鲁士科学院汇报了正确的场方程。

尽管难度很大,为了满足中学生读者的好奇,我们还是配合动图阐述解释以下几个问题:

  • 什么是度规张量?
  • 什么是黎曼曲率张量?
  • 爱因斯坦场方程是关于什么量的方程?

(1)什么是度规张量

显然,在介绍什么是度规张量之前,有必要解释什么是张量(tensor)

张量

读者可能早有耳闻,张量是一种多阶的量的集合。特别是熟悉计算机编程的读者,对 python 中的张量更不会陌生。在计算机编程中,还有一种叫法,又称多维数组,例如在 Python 中用语句 arr = np.empty((3, 4, 2)),即可定义一个 3 x 4 x 2 的 NumPy 多维数组,共有 24个数据元素。你可以把它想象成是 3个 4 x 2 的矩阵叠成的“立体数阵”,或是一个长度为 3的列表,列表中每个元素又都是 4 x 2 的矩阵。

在广义相对论中,张量一般指四维张量:二阶张量就是有 4 x 4 个分量的集合;三阶张量,有 4 x 4 x 4 个分量;四阶张量,有 4 x 4 x 4 x 4 个分量。

比计算机多维数组复杂的是,广义相对论中的张量,还对分量做了区分。我们先说一阶的情况,也就是一个矢量的 4个分量。人们约定,第一个分量是时间分量,后三个分量是空间分量。

同时,取决于矢量分量在洛伦兹变换中的关系,可区分为逆变分量协变分量

逆变分量记作 A ⁱ,i 记在上标上,表示 i 要遍历 0~3 这4个数,A ⁱ 是 4 个分量 A⁰、A¹、A²、A³ 的集合。这里的上标 0、1、2、3 依次代表时间分量和 3 个空间坐标轴分量的记号,而不是乘方的意思。i 代表的是遍历时使用的“指标”,同样也不是 i 次方的意思,再借用计算机编程的语言,它相当于语句 for i in range(4) 里的循环变量 i,后面在介绍运算时就会知道用处。所谓“逆变”,是指分量在洛伦兹变换时满足:

(A⁰, A¹, A², A³)ᵀ 
= [ γ,   v/c,   0,   0
      v/c,   γ,   0,   0
      0,      0,    1,   0
      0,      0,    0,   1]    (A`⁰, A`¹, A`², A`³)ᵀ

带 ` 的量是动系中的量。

协变分量记作 Ai,i 记在下标位置,也表示 i 遍历 0~3 这4个数,Ai 是 A₀, A₁, A₂, A₃ 的集合。协变分量在洛伦兹变换时满足:

(A₀, A₁, A₂, A₃)ᵀ 
= [γ,   -v/c,   0,   0
     -v/c,   γ,   0,   0
      0,      0,    1,   0
      0,      0,    0,   1]    (A`₀, A`₁, A`₂, A`₃)ᵀ

对于一个四维矢量,它的逆变分量与协变分量的关系有:

A⁰ = A₀,A¹ = -A₁,A² = -A₂,A³ = -A₃

对于矢量的分量,以及张量的分量,都有这样一个关系,即升降一个时间指标不变号,升降一个空间指标变一次正负号。

这里其实还略去了一个基本概念,就是四维矢量,矢量就是四维时空中的一个有大小、有方向的箭头。在确定了一组基矢量后,任何矢量就都可以用基矢量表出,其系数称为矢量在这组基矢量上的分量。因此,矢量本身可以认为是与坐标系无关的,但在使用它的分量时,一定是和坐标系有关的。所以,协变分量、逆变分量是针对分量的坐标系选择而言,而不是矢量本身分为“协变”、“逆变”。

至于指标 i,其实用什么字母倒不重要,重要的是指标出现的顺序、位置。就像在编程时,你也可以用 for k in range(4) 代表 4次循环一样,但涉及到两重循环、多重循环嵌套时,就要弄清楚 i、k、l、m 等等这些循环变量到底是哪一层循环的指标。

了解了指标之后,还要介绍一下爱因斯坦求和约定,一组逆变分量与协变分量的乘积,如果使用了同一指标,则代表进行标积求和:

A ⁱ Bi = BA ⁱ = A⁰ B₀ + A¹ B₁ + A² B₂ + A³ B₃

可见,A ⁱ Bi 、BA ⁱ 退化成了一个标量。

一个矢量自身的协变分量和逆变分量进行标积,得到:

A ⁱ Ai = A⁰ A₀ + A¹ A₁ + A² A₂ + A³ A₃ = (A⁰)² – (A¹)² – (A²)² – (A³)²

即这个矢量数值的平方(这里括号右上的“ ² ”是代表平方)。

如果乘积时,不使用相同的指标字母,例如 A ⁱ Bk,则代表不进行求和,而是自然展开成 4 x 4 个分量之积。这也就是构造了一个 2阶四维张量。

同样,2阶张量也可区分逆变分量、协变分量,还有混变分量,也用上标、下标进行区分:
Aik 代表协变张量(i、k 都为下标),
A ⁱ ᵏ 代表逆变张量(i、k 都为上标),
A ⁱ 代表混变张量(i、k 一下一上)。

最后,一个二阶混变张量,将对角线上的分量求和,可以得到它的迹:

A ⁱ i = A⁰₀ + A¹₁ + A²₂ + A³₃

如果像上式一样,在张量的上标、下标中使用了同一指标字母,则代表求该张量在这两个轴上的迹,这个运算称为“缩并”。缩并会使张量的阶降 2 阶。

以上就是在介绍度规张量之前,关于张量运算的基本概念。


度规(metric)和坐标系的几何性质有关。英文有一句话叫,没有度规(metric)就没有几何(Geometry)。粗略来说,度规是一个函数,它告诉我们坐标系中的两点“相距”多远。

测地线

在平面直角坐标系中,我们都知道可以用勾股定理计算两点间的距离。但对于曲线坐标系,如上图的体育场中,座位的排号、列号就不能直接用平方和计算距离,因为我们知道,锥形曲面的展开图是扇形,同一横排的座位是位于扇形的弧线上。因此,两点间的最短路径若以座位为参照物的话,反而成了曲线。在这个例子中,座位在展开图上的直线距离,就是这个坐标系的度规。

座位

在相对论的时空坐标系中,两个事件相距的“远近”是用间隔衡量的。

回顾第一篇讲洛伦兹变换时,我们介绍过“间隔”。读者应该记得,“间隔”是洛伦兹不变量,一个事件与原点的间隔,在任何速度的惯性参考系中,都是不变的,因为间隔就是洛伦兹变换作双曲旋转时,事件所在的双曲线(的延长线)与坐标轴的截距:

洛伦兹变换动图

ds² = c² dt² – dx² – dy² – dz²

在相对论中,间隔是两个事件时空关系的真实本质,而坐标的差值都和坐标系的速度有关,由于没有任何一个惯性系是有特殊地位的,因此,只有间隔具有真实的物理意义。

按四维矢量的表达方式,我们可以建立一个平直时空中的直角坐标系,四个分量依次是:

x⁰ = c t
x¹ = x
x² = y
x³ = z

替换 t、x、y、z,间隔的平方写为:

ds² = d(x⁰)² – d(x¹)² – d(x²)² – d(x³)²

如果表述成张量运算的形式,可以用一个二阶协变张量 gik =

[[ 1, 0,  0, 0 ],
 [ 0, -1, 0, 0 ],
 [ 0, 0, -1, 0 ],
 [ 0, 0, 0, -1 ]]

根据前面我们讲的张量运算规则,显然可以将间隔的平方写为:

ds² = gik dxⁱ dxᵏ

上边的 gik 称为闵可夫斯基度规,它是形式最简单的度规,具有如是度规的时空,称为闵可夫斯基时空。在远离引力场的宇宙深处,在较小的范围内可以近似认为是闵氏时空。

对于一个任意定义的曲线时空坐标系,(x⁰, x¹, x², x³)的邻近事件记为 (x⁰ + dx⁰,x¹ + dx¹,x² + dx²,x³ + dx³),它们的间隔就需要一个其他形式的度规张量函数 gik 来计算,不妨仍记为:

ds² = gik dxⁱ dxᵏ

对存在引力场的情况,gik 的分量就不再全是常数了,而也是坐标的函数。

例如开篇提到的史瓦西度规

ds² = (1 – rg/r) c²dt² – (1 – rg/r)⁻¹ dr² – r² dθ² – r² sin²θ dφ²

它并不是一个复杂的张量,只有 4 个非 0 分量,都在对角线上,分别是:

g₀₀ = (1 – rg/r)
g₁₁ = – (1 – rg/r)⁻¹ 
g₂₂ = – r²
g₃₃ = – r² sin²θ

利用这个度规,我们就可以计算无电荷、无自转的场源形成的球对称的引力场中、位于场源以外的真空中,任何两个事件之间的时空间隔。就像我们可以利用体育场的座位展开图,计算任意两个座位的距离一样。


(2)什么是黎曼曲率张量?

首先,我们来回顾一下低维空间中曲率的含义。对于一条平面曲线而言,假设一个箭头沿着曲线前进,每前进单位弧长 Δs,箭头转动的角度(用弧度计量)变化量 Δa,就是该点的曲率 Δa/Δs。

曲线曲率

像我们动图中小蛇身上的箭头,它只能沿着蛇的身子前进,前进弧长的增量 Δs 是个1维的标量;同时,箭头也只能在平面中旋转,所以相应的转角增量 Δa 也是标量。毫无悬念,这种平面曲线的曲率 Δa/Δs 也是标量。

另外,我们知道箭头所指的角度实际是曲线的切线方向,切线对 y = f(x) 这种函数来说,斜率是 f 的导数 f'(x)。曲率既然是切线角度的变化率,那么自然和 f 的二阶导数有关。根据定义,不难推导出曲率 K 和 f 的导数、二阶导数的关系:

K = f” / (1+f’²) ^ (3/2)

若要提高一个维度,分析二维曲面上的类似概念,我们有两种办法:一种是继续在更高一维的空间中(三维空间)观察曲面的弯曲情况,例如用西瓜刀从一点以不同方向垂直切开瓜皮,看看剖切线在该点的曲率(称为法曲率)如何,这样得到一系列法曲率、2 个主曲率(所有法曲率的最大值 K₁、最小值 K₂)和高斯曲率(K₁K₂ 之积)等概念;

曲面的主曲率

另一种办法是借助度规,作为一种二维世界里的生物,去想象自己所在的曲面如何弯曲。

第二种办法虽然像天方夜谭,但也并非不可能。而且,我们要想象三维、四维流形如何弯曲的话,显然没法再跳出宇宙,用一双 5维的大眼睛去观察世界。

黎曼找到一种不需要增加额外维度,仍能判断空间是否弯曲的办法,前提是知道空间各处的度规函数。有了度规函数,我们就能找到两个坐标点之间的最短路径,这种路径又被称为“测地线”。

如果你用过谷歌地球,使用测距功能测量地球上相距很远的两点的距离,你就会发现,测距的线段不再是直线,而是一段圆弧。同样,在平面化的百度地图上,将地图范围缩到世界地图大小,再使用测距功能,也可以看到测距线变成了弧线。

地球上的测地线

可见“测地线”对地球来说非常形象,就是在曲面上用来测量最短距离的线。测地线参照于坐标系的轴网(如经纬线)来说,反而可能是弯曲的轨迹,就像百度地图的显示一样。

有了测地线之后,我们二维生物就能够发现空间是否存在弯曲。办法可能读者已经听过无数次了,就是用 3 条测地线组成一个三角形,看看内角和是不是 180°(π)。对于地球这种高斯曲率为正的球面,内角和总是大于180° 的;对高斯曲率为负的马鞍面,内角和会小于 180°。

当然,二维生物们若要更精确地度量弯曲的程度,就要用些复杂的方法。黎曼给出的方案是沿测地线平移一个箭头,平移时保持箭头与测地线的夹角不变(也就是箭头在测地线局部坐标系中的分量在平移时不变),但从曲线坐标系里看,箭头的方向(曲线坐标系中的坐标分量)一般就要发生变化了;特别是沿一个闭合路径平移一周,箭头回到原点,方向的变化就更加明显了,如下图所示:

曲面上的平行移动

显然,箭头平移一周后方向的变化量与路径包围曲面的大小有关,二者的关系会有一个比值。这个比值也是可以由度规的导数和二阶导数表示出来的,其中会用到克里斯托夫符号 Γ ⁱ kl

克里斯托夫符号 Γ ⁱ kl ,反映的是一个矢量 A ⁱ 平移 dxˡ 后,分量发生的变化:

δA ⁱ = -Γ ⁱ kl Aᵏ dxˡ

复杂的微分几何分析表明 Γ ⁱ kl 可以由度规张量的导数表出。

而根据斯托克斯定理,闭合路径的线积分,可以化为路径包围曲面的面积分。回顾三维空间中的斯托克斯定理(可回顾本系列第一篇),要把 ∮Γⁿ il An dxˡ 转化为曲面积分,应该写出 Γⁿ il An 的“旋度”。经过推导,这个“旋度”表达式中带有矢量 An,以及 Γ 和 Γ 的导数。由于矢量 A是任选的,将 An 提取出来,剩下的由 Γ 和 Γ 的导数表出的张量,就是黎曼曲率张量 R ⁱ klm

由于 R ⁱ klm 又是 Γ 和 Γ 的导数表示的,显然黎曼曲率张量与度规的二阶导数有关。这和平面曲线的曲率和函数的二阶导数有关一样。

另外由于 R ⁱ klm 是 4 阶张量,分量的数目应该是 256 个。但由于对称性, R ⁱ klm 独立的分量并没有那么多。分析表明,二、三、四维空间中黎曼曲率张量的独立非零分量数目分别是 1、6、20 个。

回到二维生物的世界,经计算,对于球面而言,黎曼曲率张量中一个非零分量是 R₁₂₁₂ = r² sin² θ,或以混变张量表示: R₁₂¹² = 1/r²。

可以看到,R₁₂¹² 恰好是球面的高斯曲率。

(3)爱因斯坦场方程是关于什么量的方程?

有了以上的准备后,现在再回看一下广义相对论的场方程:

Rik – (1/2)gikR = (8πG / c⁴) Tik

其中 Rik 是一个 2阶协变张量,称为里奇曲率张量;
gik 是一个 2阶协变张量,称为度规张量;
Tik 是一个 2阶协变张量,称为物质分布的能量动量张量;
R 是一个标量,称为曲率标量;
G、c 是物理常数。

可见,广义相对论的场方程是一个 2 阶张量方程。由于有对称性存在,张量的独立分量数目实际上是 10 个。也就是说,场方程可以看作是由 10 个独立方程构成的方程组。

在方程左边,里奇张量 Rik 是 4 阶的黎曼曲率张量 R ⁱ klm 缩并到 2 阶的结果;曲率标量 R 又是里奇张量 Rik 缩并为 0 阶的标量的结果。通过刚才对里奇曲率张量的介绍,我们知道, R ⁱ klm 又与度规 gik  的一阶导数、二阶导数有关,因此,方程的左边实际上是关于度规张量 gik 以及它的一阶导数、二阶导数的表达式。

因此,我们说场方程是关于度规张量函数的二阶偏微分方程。它的解应该是符合这个关系的度规张量函数 gik 。如史瓦西度规:

史瓦西度规

关于广义相对论的场方程,爱因斯坦曾经的同事,物理学家惠勒曾用一句精辟的话总结︰ 时空告诉物质如何运动,物质告诉时空如何弯曲。 方程的左边都是关于空间如何弯曲的量,而方程的右边,描述的是物质的分布。关于爱因斯坦是怎么得到这个方程的,以及方程背后的广义协变原理、相对性原理,请感兴趣的读者阅读其他专业书籍,本文就不打算深入探讨了。

黑洞对时空的扭曲

史瓦西度规是由史瓦西在 1916 年得到的,它是引力场在球对称、恒定(度规不随 t 变化)的情形下,在场源以外物质分布 T = 0 的真空区域中的解。是人们得到的爱因斯坦场方程的第一个精确解。事实上,直到过了将近 50 年,人类才发现了场方程的第二个精确解(克尔度规)。

关于史瓦西度规的性质,我们可以略作 2 个小推算:

a. 引力导致时钟变慢

对于时间分量,我们知道在跟随物体一起运动的固有参考系里,间隔就是物体固有时 t` 的流逝(因为物体自己在自己的固有参考系中,显然 x` = y` = z` = 0,s 只由 ct` 决定):

ds = c dt`

而对于史瓦西时空中的固定一点:

ds = sqrt(g₀₀) c dt =  sqrt(1 – rg/r) c dt

因此,有:

dt` = sqrt(1 – rg/r) dt

史瓦西时空中的 t,参照的是距离场源无限远处的钟,又称为世界时间。可见,从距离引力场无限远的观察者来看,在引力场中的钟走得比世界时要慢。

对于太阳来说,它的史瓦西半径  rg 约为 3 公里,而太阳表面半径约为 70万公里,按这两个数值,可以计算出太阳表面的钟应该比地球上的钟大致慢 0.0002%,这可以造成一些原子的光谱线出现移动:由于是频率变慢,体现出的效果是波长变长,这就是引力导致的光谱红移。

另外,我们注意到,当 r = rg 时,dt` = 0,意味着从远处的观察者来看,那个点上的钟停止不走了。这就是我们从地球上观察一个驶进黑洞的飞船的情况,在我们的望远镜中,飞船越靠近黑洞的事件视界,我们观测到它的钟表走得越慢,直至时间趋近于凝固。

黑洞效果图

b. 更高维生物看到的凹陷蹦床

正如人类嘲笑二维生物看不到曲面的弯曲一样,更高维生物也许可以一目了然地看到时空的弯曲。为了偷窥一下高维生物眼中世界的样子,我们可以先牺牲掉我们三维空间的一个维度,只观察一个平面,例如 θ = π/2,也就是我们空间的横切面 r-φ 平面。

然后,假设更高维生物还可以看到一个额外的空间维度 ȥ 轴,在它的 r-φ-ȥ 空间中,会看到我们的 r-φ “平面”弯成了一张曲线编织的网。

我们不妨让在高维生物 r-φ-ȥ 空间中的直线距离 dl,恰好就是用我们自己世界的史瓦西度规计算出来的空间距离。这样,有:

dl² = dr² + r² dφ² + dȥ² = (1 – rg/r)⁻¹ dr² + r² dφ²

整理,得到:

dȥ² = (1 – rg/r)⁻¹ dr² – dr²
= dr² rg/(r – rg)

dȥ = dr sqrt(rg / (r – rg))

这是对于在星体以外的空间的情况,即 r >= r₀ 时。

对于星体以内,即 r < r₀ 时,不妨假设 rg 会随着 r 的减小按立方关系减小,再整理,得到:

dȥ = dr sqrt(r² / (r₀³/ rg – r²))

我们对这两段导数积分,可以得到分段函数:

ȥ = 2 sqrt(rg (r – rg)) + C₁,   当 r >= r₀
ȥ = – sqrt(r₀³/ rg – r²) + C₂,   当 r < r₀

不妨让 C₁ = 0, C₂ 通过在 r₀ 点两段函数值相等确定。

这个曲面,就是高维生物看到的我们的世界(的横切面)下凹的样子:

史瓦西度规中平面的扭曲

 r₀ = 3 rg

黑洞对平面的扭曲

 r₀ = rg

史瓦西度规中平面的扭曲动图


依据史瓦西度规,人们还可以计算光在时空中的路径,也就是四维弯曲时空中速度为 c 的测地线。并依此计算黑洞的引力透镜效应,预言黑洞在照片中的形象。在 2019 年,人类刚刚得到了第一张真正意义上的黑洞照片 —— 利用分散在全球的射电望远镜组网,经过 2 年多的曝光,通过超级计算机处理观测数据,完成了一张 M87 星系中心黑洞的 X 射线照片。

黑洞照片

显然,这又是人类理性思维获得的再一次胜利。

最后,作为本系列的结尾,笔者想告诉读者一些歪理邪说,那就是现代物理对数学的要求实在是太高了,作为智商在 150 以下的生灵,了解一二、浅尝辄止,不失饶有趣味。如果您已经 17 岁以上,还看不出本系列的胡编滥造、粗劣低下,那么物理研究的道路应该是不适合您 —— 您可以像笔者一样,做一个业余物理爱好者,看一看纪录片,读一读畅销书,在物理学取得重大进展时听听新闻,也算是一种消遣。

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