上接第四篇

10、广义相对论场方程和它的史瓦西解

爱因斯坦场方程：

R_ik – (1/2)g_ikR = (8πG / c⁴) T_ik

 

史瓦西度规（以上方程在真空中的球对称的解）：

ds² = (1 – r_g/r) c²dt² – (1 – r_g/r)⁻¹ dr² – r² dθ² – r² sin²θ dφ²

其中 r_g = 2GM/c²

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回顾本系列前几篇，由于假定读者是先修了大学一、二年级数学课程（基本的微积分、线性代数、概率论知识）的中学生，我们在前 9组物理公式的介绍里，有的做了不严谨的推导，有的在其基础上做了一些推演。但面对显然是“带物理学走向现代”的广义相对论方程，却实在没办法在一篇短小的网文中说出个头绪来。

就算是公式里的某一两项，拿出来讲的话都要补充很多复杂的背景数学概念，才能知道是什么含义。即便是爱因斯坦和希尔伯特，也花了数年、数个月的时间去推演，甚至不断出现错误。

据说，在1915年末，爱因斯坦还与希尔伯特在推导引力场方程上出现了竞争。爱因斯坦那时已经形成了广义相对论的基本理念，并在数学家帮助下，将黎曼几何作为描述广义相对论时空的基础。但关于引力场方程的推导，爱因斯坦曾一度忽略了 -(1/2)g_ikR 一项，也因此给出过一些错误的预言值。

到1915年末，爱因斯坦发现了这个问题，并急于进行修正。听过爱因斯坦几次讲座的希尔伯特，这时也把研究精力转到了引力的几何理论上来。这让爱因斯坦大为紧张，因为希尔伯特既是著名的物理学家，也是大数学家。让爱因斯坦花了几年时间才掌握的黎曼几何，对希尔伯特而言则是轻车熟路。如果希尔伯特先写出了引力场方程的正确形式，对爱因斯坦而言，无疑是个巨大的悔憾。

关于这段历史，卢昌海先生有一篇有趣的介绍，值得读者一读。最终，还是爱因斯坦领先一程，在 1915 年 11月 25 日向普鲁士科学院汇报了正确的场方程。

尽管难度很大，为了满足中学生读者的好奇，我们还是配合动图阐述解释以下几个问题：

• 什么是度规张量？
• 什么是黎曼曲率张量？
• 爱因斯坦场方程是关于什么量的方程？

（1）什么是度规张量

显然，在介绍什么是度规张量之前，有必要解释什么是张量（tensor）。

读者可能早有耳闻，张量是一种多阶的量的集合。特别是熟悉计算机编程的读者，对 python 中的张量更不会陌生。在计算机编程中，还有一种叫法，又称多维数组，例如在 Python 中用语句 arr = np.empty((3, 4, 2))，即可定义一个 3 x 4 x 2 的 NumPy 多维数组，共有 24个数据元素。你可以把它想象成是 3个 4 x 2 的矩阵叠成的“立体数阵”，或是一个长度为 3的列表，列表中每个元素又都是 4 x 2 的矩阵。

在广义相对论中，张量一般指四维张量：二阶张量就是有 4 x 4 个分量的集合；三阶张量，有 4 x 4 x 4 个分量；四阶张量，有 4 x 4 x 4 x 4 个分量。

比计算机多维数组复杂的是，广义相对论中的张量，还对分量做了区分。我们先说一阶的情况，也就是一个矢量的 4个分量。人们约定，第一个分量是时间分量，后三个分量是空间分量。

同时，取决于矢量分量在洛伦兹变换中的关系，可区分为逆变分量和协变分量。

逆变分量记作 A ⁱ，i 记在上标上，表示 i 要遍历 0~3 这4个数，A ⁱ 是 4 个分量 A⁰、A¹、A²、A³ 的集合。这里的上标 0、1、2、3 依次代表时间分量和 3 个空间坐标轴分量的记号，而不是乘方的意思。i 代表的是遍历时使用的“指标”，同样也不是 i 次方的意思，再借用计算机编程的语言，它相当于语句 for i in range(4) 里的循环变量 i，后面在介绍运算时就会知道用处。所谓“逆变”，是指分量在洛伦兹变换时满足：

(A⁰, A¹, A², A³)ᵀ 
= [ γ,   v/c,   0,   0
      v/c,   γ,   0,   0
      0,      0,    1,   0
      0,      0,    0,   1]    (A`⁰, A`¹, A`², A`³)ᵀ

带 ` 的量是动系中的量。

协变分量记作 A_i，i 记在下标位置，也表示 i 遍历 0~3 这4个数，A_i 是 A₀, A₁, A₂, A₃ 的集合。协变分量在洛伦兹变换时满足：

(A₀, A₁, A₂, A₃)ᵀ 
= [γ,   -v/c,   0,   0
     -v/c,   γ,   0,   0
      0,      0,    1,   0
      0,      0,    0,   1]    (A`₀, A`₁, A`₂, A`₃)ᵀ

对于一个四维矢量，它的逆变分量与协变分量的关系有：

A⁰ = A₀，A¹ = -A₁，A² = -A₂，A³ = -A₃

对于矢量的分量，以及张量的分量，都有这样一个关系，即升降一个时间指标不变号，升降一个空间指标变一次正负号。

这里其实还略去了一个基本概念，就是四维矢量，矢量就是四维时空中的一个有大小、有方向的箭头。在确定了一组基矢量后，任何矢量就都可以用基矢量表出，其系数称为矢量在这组基矢量上的分量。因此，矢量本身可以认为是与坐标系无关的，但在使用它的分量时，一定是和坐标系有关的。所以，协变分量、逆变分量是针对分量的坐标系选择而言，而不是矢量本身分为“协变”、“逆变”。

至于指标 i，其实用什么字母倒不重要，重要的是指标出现的顺序、位置。就像在编程时，你也可以用 for k in range(4) 代表 4次循环一样，但涉及到两重循环、多重循环嵌套时，就要弄清楚 i、k、l、m 等等这些循环变量到底是哪一层循环的指标。

了解了指标之后，还要介绍一下爱因斯坦求和约定，一组逆变分量与协变分量的乘积，如果使用了同一指标，则代表进行标积求和：

A ⁱ B_i = B_i A ⁱ = A⁰ B₀ + A¹ B₁ + A² B₂ + A³ B₃

可见，A ⁱ B_i 、B_i A ⁱ 退化成了一个标量。

一个矢量自身的协变分量和逆变分量进行标积，得到：

A ⁱ A_i = A⁰ A₀ + A¹ A₁ + A² A₂ + A³ A₃ = (A⁰)² – (A¹)² – (A²)² – (A³)²

即这个矢量数值的平方（这里括号右上的“ ² ”是代表平方）。

如果乘积时，不使用相同的指标字母，例如 A ⁱ B_k，则代表不进行求和，而是自然展开成 4 x 4 个分量之积。这也就是构造了一个 2阶四维张量。

同样，2阶张量也可区分逆变分量、协变分量，还有混变分量，也用上标、下标进行区分：
A_ik 代表协变张量（i、k 都为下标），
A ⁱ ᵏ 代表逆变张量（i、k 都为上标），
A ⁱ _k 代表混变张量（i、k 一下一上）。

最后，一个二阶混变张量，将对角线上的分量求和，可以得到它的迹：

A ⁱ _i = A⁰₀ + A¹₁ + A²₂ + A³₃

如果像上式一样，在张量的上标、下标中使用了同一指标字母，则代表求该张量在这两个轴上的迹，这个运算称为“缩并”。缩并会使张量的阶降 2 阶。

以上就是在介绍度规张量之前，关于张量运算的基本概念。

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度规（metric）和坐标系的几何性质有关。英文有一句话叫，没有度规（metric）就没有几何（Geometry）。粗略来说，度规是一个函数，它告诉我们坐标系中的两点“相距”多远。

在平面直角坐标系中，我们都知道可以用勾股定理计算两点间的距离。但对于曲线坐标系，如上图的体育场中，座位的排号、列号就不能直接用平方和计算距离，因为我们知道，锥形曲面的展开图是扇形，同一横排的座位是位于扇形的弧线上。因此，两点间的最短路径若以座位为参照物的话，反而成了曲线。在这个例子中，座位在展开图上的直线距离，就是这个坐标系的度规。

在相对论的时空坐标系中，两个事件相距的“远近”是用间隔衡量的。

回顾第一篇讲洛伦兹变换时，我们介绍过“间隔”。读者应该记得，“间隔”是洛伦兹不变量，一个事件与原点的间隔，在任何速度的惯性参考系中，都是不变的，因为间隔就是洛伦兹变换作双曲旋转时，事件所在的双曲线（的延长线）与坐标轴的截距：

ds² = c² dt² – dx² – dy² – dz²

在相对论中，间隔是两个事件时空关系的真实本质，而坐标的差值都和坐标系的速度有关，由于没有任何一个惯性系是有特殊地位的，因此，只有间隔具有真实的物理意义。

按四维矢量的表达方式，我们可以建立一个平直时空中的直角坐标系，四个分量依次是：

x⁰ = c t
x¹ = x
x² = y
x³ = z

替换 t、x、y、z，间隔的平方写为：

ds² = d(x⁰)² – d(x¹)² – d(x²)² – d(x³)²

如果表述成张量运算的形式，可以用一个二阶协变张量 g_ik =

[[ 1, 0,  0, 0 ],
 [ 0, -1, 0, 0 ],
 [ 0, 0, -1, 0 ],
 [ 0, 0, 0, -1 ]]

根据前面我们讲的张量运算规则，显然可以将间隔的平方写为：

ds² = g_ik dxⁱ dxᵏ

上边的 g_ik 称为闵可夫斯基度规，它是形式最简单的度规，具有如是度规的时空，称为闵可夫斯基时空。在远离引力场的宇宙深处，在较小的范围内可以近似认为是闵氏时空。

对于一个任意定义的曲线时空坐标系，（x⁰, x¹, x², x³）的邻近事件记为 （x⁰ + dx⁰，x¹ + dx¹，x² + dx²，x³ + dx³），它们的间隔就需要一个其他形式的度规张量函数 g_ik 来计算，不妨仍记为：

ds² = g_ik dxⁱ dxᵏ

对存在引力场的情况，g_ik 的分量就不再全是常数了，而也是坐标的函数。

例如开篇提到的史瓦西度规：

ds² = (1 – r_g/r) c²dt² – (1 – r_g/r)⁻¹ dr² – r² dθ² – r² sin²θ dφ²

它并不是一个复杂的张量，只有 4 个非 0 分量，都在对角线上，分别是：

g₀₀ = (1 – r_g/r)
g₁₁ = – (1 – r_g/r)⁻¹ 
g₂₂ = – r²
g₃₃ = – r² sin²θ

利用这个度规，我们就可以计算无电荷、无自转的场源形成的球对称的引力场中、位于场源以外的真空中，任何两个事件之间的时空间隔。就像我们可以利用体育场的座位展开图，计算任意两个座位的距离一样。

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（2）什么是黎曼曲率张量？

首先，我们来回顾一下低维空间中曲率的含义。对于一条平面曲线而言，假设一个箭头沿着曲线前进，每前进单位弧长 Δs，箭头转动的角度（用弧度计量）变化量 Δa，就是该点的曲率 Δa/Δs。

像我们动图中小蛇身上的箭头，它只能沿着蛇的身子前进，前进弧长的增量 Δs 是个1维的标量；同时，箭头也只能在平面中旋转，所以相应的转角增量 Δa 也是标量。毫无悬念，这种平面曲线的曲率 Δa/Δs 也是标量。

另外，我们知道箭头所指的角度实际是曲线的切线方向，切线对 y = f(x) 这种函数来说，斜率是 f 的导数 f'(x)。曲率既然是切线角度的变化率，那么自然和 f 的二阶导数有关。根据定义，不难推导出曲率 K 和 f 的导数、二阶导数的关系：

K = f” / (1+f’²) ^ (3/2)

若要提高一个维度，分析二维曲面上的类似概念，我们有两种办法：一种是继续在更高一维的空间中（三维空间）观察曲面的弯曲情况，例如用西瓜刀从一点以不同方向垂直切开瓜皮，看看剖切线在该点的曲率（称为法曲率）如何，这样得到一系列法曲率、2 个主曲率（所有法曲率的最大值 K₁、最小值 K₂）和高斯曲率（K₁K₂ 之积）等概念；

另一种办法是借助度规，作为一种二维世界里的生物，去想象自己所在的曲面如何弯曲。

第二种办法虽然像天方夜谭，但也并非不可能。而且，我们要想象三维、四维流形如何弯曲的话，显然没法再跳出宇宙，用一双 5维的大眼睛去观察世界。

黎曼找到一种不需要增加额外维度，仍能判断空间是否弯曲的办法，前提是知道空间各处的度规函数。有了度规函数，我们就能找到两个坐标点之间的最短路径，这种路径又被称为“测地线”。

如果你用过谷歌地球，使用测距功能测量地球上相距很远的两点的距离，你就会发现，测距的线段不再是直线，而是一段圆弧。同样，在平面化的百度地图上，将地图范围缩到世界地图大小，再使用测距功能，也可以看到测距线变成了弧线。

可见“测地线”对地球来说非常形象，就是在曲面上用来测量最短距离的线。测地线参照于坐标系的轴网（如经纬线）来说，反而可能是弯曲的轨迹，就像百度地图的显示一样。

有了测地线之后，我们二维生物就能够发现空间是否存在弯曲。办法可能读者已经听过无数次了，就是用 3 条测地线组成一个三角形，看看内角和是不是 180°（π）。对于地球这种高斯曲率为正的球面，内角和总是大于180° 的；对高斯曲率为负的马鞍面，内角和会小于 180°。

当然，二维生物们若要更精确地度量弯曲的程度，就要用些复杂的方法。黎曼给出的方案是沿测地线平移一个箭头，平移时保持箭头与测地线的夹角不变（也就是箭头在测地线局部坐标系中的分量在平移时不变），但从曲线坐标系里看，箭头的方向（曲线坐标系中的坐标分量）一般就要发生变化了；特别是沿一个闭合路径平移一周，箭头回到原点，方向的变化就更加明显了，如下图所示：

显然，箭头平移一周后方向的变化量与路径包围曲面的大小有关，二者的关系会有一个比值。这个比值也是可以由度规的导数和二阶导数表示出来的，其中会用到克里斯托夫符号 Γ ⁱ _kl 。

克里斯托夫符号 Γ ⁱ _kl ，反映的是一个矢量 A ⁱ 平移 dxˡ 后，分量发生的变化：

δA ⁱ = -Γ ⁱ _kl Aᵏ dxˡ

复杂的微分几何分析表明 Γ ⁱ _kl 可以由度规张量的导数表出。

而根据斯托克斯定理，闭合路径的线积分，可以化为路径包围曲面的面积分。回顾三维空间中的斯托克斯定理（可回顾本系列第一篇），要把 ∮Γⁿ _il A_n dxˡ 转化为曲面积分，应该写出 Γⁿ _il A_n 的“旋度”。经过推导，这个“旋度”表达式中带有矢量 A_n，以及 Γ 和 Γ 的导数。由于矢量 A_n 是任选的，将 A_n 提取出来，剩下的由 Γ 和 Γ 的导数表出的张量，就是黎曼曲率张量 R ⁱ _klm。

由于 R ⁱ _klm 又是 Γ 和 Γ 的导数表示的，显然黎曼曲率张量与度规的二阶导数有关。这和平面曲线的曲率和函数的二阶导数有关一样。

另外由于 R ⁱ _klm 是 4 阶张量，分量的数目应该是 256 个。但由于对称性， R ⁱ _klm 独立的分量并没有那么多。分析表明，二、三、四维空间中黎曼曲率张量的独立非零分量数目分别是 1、6、20 个。

回到二维生物的世界，经计算，对于球面而言，黎曼曲率张量中一个非零分量是 R₁₂₁₂ = r² sin² θ，或以混变张量表示： R₁₂¹² = 1/r²。

可以看到，R₁₂¹² 恰好是球面的高斯曲率。

（3）爱因斯坦场方程是关于什么量的方程？

有了以上的准备后，现在再回看一下广义相对论的场方程：

R_ik – (1/2)g_ikR = (8πG / c⁴) T_ik

其中 R_ik 是一个 2阶协变张量，称为里奇曲率张量；
g_ik 是一个 2阶协变张量，称为度规张量；
_Tik 是一个 2阶协变张量，称为物质分布的能量动量张量；
R 是一个标量，称为曲率标量；
G、c 是物理常数。

可见，广义相对论的场方程是一个 2 阶张量方程。由于有对称性存在，张量的独立分量数目实际上是 10 个。也就是说，场方程可以看作是由 10 个独立方程构成的方程组。

在方程左边，里奇张量 R_ik 是 4 阶的黎曼曲率张量 R ⁱ _klm 缩并到 2 阶的结果；曲率标量 R 又是里奇张量 R_ik 缩并为 0 阶的标量的结果。通过刚才对里奇曲率张量的介绍，我们知道， R ⁱ _klm 又与度规 g_ik  的一阶导数、二阶导数有关，因此，方程的左边实际上是关于度规张量 g_ik 以及它的一阶导数、二阶导数的表达式。

因此，我们说场方程是关于度规张量函数的二阶偏微分方程。它的解应该是符合这个关系的度规张量函数 g_ik 。如史瓦西度规：

关于广义相对论的场方程，爱因斯坦曾经的同事，物理学家惠勒曾用一句精辟的话总结︰ 时空告诉物质如何运动，物质告诉时空如何弯曲。 方程的左边都是关于空间如何弯曲的量，而方程的右边，描述的是物质的分布。关于爱因斯坦是怎么得到这个方程的，以及方程背后的广义协变原理、相对性原理，请感兴趣的读者阅读其他专业书籍，本文就不打算深入探讨了。

史瓦西度规是由史瓦西在 1916 年得到的，它是引力场在球对称、恒定（度规不随 t 变化）的情形下，在场源以外物质分布 T = 0 的真空区域中的解。是人们得到的爱因斯坦场方程的第一个精确解。事实上，直到过了将近 50 年，人类才发现了场方程的第二个精确解（克尔度规）。

关于史瓦西度规的性质，我们可以略作 2 个小推算：

a. 引力导致时钟变慢

对于时间分量，我们知道在跟随物体一起运动的固有参考系里，间隔就是物体固有时 t` 的流逝（因为物体自己在自己的固有参考系中，显然 x` = y` = z` = 0，s 只由 ct` 决定）：

ds = c dt`

而对于史瓦西时空中的固定一点：

ds = sqrt(g₀₀) c dt =  sqrt(1 – r_g/r) c dt

因此，有：

dt` = sqrt(1 – r_g/r) dt

史瓦西时空中的 t，参照的是距离场源无限远处的钟，又称为世界时间。可见，从距离引力场无限远的观察者来看，在引力场中的钟走得比世界时要慢。

对于太阳来说，它的史瓦西半径  r_g 约为 3 公里，而太阳表面半径约为 70万公里，按这两个数值，可以计算出太阳表面的钟应该比地球上的钟大致慢 0.0002%，这可以造成一些原子的光谱线出现移动：由于是频率变慢，体现出的效果是波长变长，这就是引力导致的光谱红移。

另外，我们注意到，当 r = r_g 时，dt` = 0，意味着从远处的观察者来看，那个点上的钟停止不走了。这就是我们从地球上观察一个驶进黑洞的飞船的情况，在我们的望远镜中，飞船越靠近黑洞的事件视界，我们观测到它的钟表走得越慢，直至时间趋近于凝固。

b. 更高维生物看到的凹陷蹦床

正如人类嘲笑二维生物看不到曲面的弯曲一样，更高维生物也许可以一目了然地看到时空的弯曲。为了偷窥一下高维生物眼中世界的样子，我们可以先牺牲掉我们三维空间的一个维度，只观察一个平面，例如 θ = π/2，也就是我们空间的横切面 r-φ 平面。

然后，假设更高维生物还可以看到一个额外的空间维度 ȥ 轴，在它的 r-φ-ȥ 空间中，会看到我们的 r-φ “平面”弯成了一张曲线编织的网。

我们不妨让在高维生物 r-φ-ȥ 空间中的直线距离 dl，恰好就是用我们自己世界的史瓦西度规计算出来的空间距离。这样，有：

dl² = dr² + r² dφ² + dȥ² = (1 – r_g/r)⁻¹ dr² + r² dφ²

整理，得到：

dȥ² = (1 – r_g/r)⁻¹ dr² – dr²
= dr² r_g/(r – r_g)

dȥ = dr sqrt(r_g / (r – r_g))

这是对于在星体以外的空间的情况，即 r >= r₀ 时。

对于星体以内，即 r < r₀ 时，不妨假设 r_g 会随着 r 的减小按立方关系减小，再整理，得到：

dȥ = dr sqrt(r² / (r₀³/ r_g – r²))

我们对这两段导数积分，可以得到分段函数：

ȥ = 2 sqrt(r_g (r – r_g)) + C₁，   当 r >= r₀
ȥ = – sqrt(r₀³/ r_g – r²) + C₂，   当 r < r₀

不妨让 C₁ = 0， C₂ 通过在 r₀ 点两段函数值相等确定。

这个曲面，就是高维生物看到的我们的世界（的横切面）下凹的样子：

 r₀ = 3 r_g

 r₀ = r_g

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依据史瓦西度规，人们还可以计算光在时空中的路径，也就是四维弯曲时空中速度为 c 的测地线。并依此计算黑洞的引力透镜效应，预言黑洞在照片中的形象。在 2019 年，人类刚刚得到了第一张真正意义上的黑洞照片 —— 利用分散在全球的射电望远镜组网，经过 2 年多的曝光，通过超级计算机处理观测数据，完成了一张 M87 星系中心黑洞的 X 射线照片。

显然，这又是人类理性思维获得的再一次胜利。

最后，作为本系列的结尾，笔者想告诉读者一些歪理邪说，那就是现代物理对数学的要求实在是太高了，作为智商在 150 以下的生灵，了解一二、浅尝辄止，不失饶有趣味。如果您已经 17 岁以上，还看不出本系列的胡编滥造、粗劣低下，那么物理研究的道路应该是不适合您 —— 您可以像笔者一样，做一个业余物理爱好者，看一看纪录片，读一读畅销书，在物理学取得重大进展时听听新闻，也算是一种消遣。