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(10) 笛卡尔心形线
程序目标描述：
有一个流传很广的传奇故事，说法国数学家笛卡尔（Rene Descartes）曾被瑞典的一个国王聘请，做国王女儿克里斯蒂娜公主的家庭教师。他们每天讨论数学和哲学问题，时间一长，公主爱上了这位智慧的老师。国王发现后，十分恼火，把笛卡尔赶出了王宫，并不允许他和克里斯蒂娜再接触。为了表示爱意，笛卡尔把代表爱情的桃心，抽象成了数学公式 ρ=a(1-cosθ)，对国王谎称是练习题，转交给公主。公主利用笛卡尔教给她的极坐标知识，画出了图形，这就是著名的笛卡尔心形线。
我们这集的程序，就是用计算机帮助公主绘图，把数学公式转化成坐标格纸上的图形。
牢骚的话：
笔者小时候读过的各类《趣味程序xx例》，大多数在很靠前的时候就会介绍用程序绘图的例子。而我们这个系列，拖到了第 10 个例程，才开始使用“画笔”功能。这倒并不是笔者忘了这个题材，而是 Scratch 本身就是一种基于图形元素的编程语言，在大多数情况下，如果希望展现图形效果，并不需要动用“画笔”去绘制，而是直接操作“角色”的动作、外观、造型等等。“画笔”反倒是一种效果很不容易出彩的笨办法，往往代码量还很长。
这跟笔者小时候完全不同了，在那个 PC 刚出现的时代，电脑的图形功能并不强大，BASIC 语言、LOGO 语言提供的绘制直线、矩形、圆形的命令，让人们感到十分新奇，所以当然可以算作趣味程序。
而要用 Scratch 的“画笔”功能，写一个 20块积木以内的、有一定视觉效果的程序，着实费了些脑筋。只画一个三角、椭圆、五角星，感觉没什么意思，也没有故事可讲，复杂的图形又很难在 20块积木以内实现。这样，最终选择了笛卡尔心形线作为“画笔”的例程 。另有几个想法，如“卢瑟福α粒子散射轨迹”、“绘制欧盟标志”等，也能在 20块积木以内完成，但故事性略差，因此留到以后再说。
素材准备：
笛卡尔头像（来自百度百科）：
场景布置：
舞台背景选择 Scratch 内置的“Xy-grid”，它是一张坐标格纸，对于这种科学作图程序来说很有用，能让你看到曲线轨迹的坐标数值。
除了添加 Descartes 角色以外，还要添加一个画笔角色，选择 Scratch 内置的“pencil”。然后，在 “pencil”角色的造型编辑活页卡中，按键盘 Ctrl+A 全选图形，并将笔尖移动到编辑窗口的中心标记处（这是为了在运行时让笔迹看起来是笔尖留下的），如下图所示：
回到代码活页卡，两个角色的初始位置随意摆放，将“pencil”角色缩小到合适大小（例如 30）。
代码搭建：
在左侧积木分组栏下方，点“添加扩展”按钮，选择“画笔”扩展。之后，先搭建 Descartes 的代码：
这里“cos(…)”积木在“运算”积木箱里，是由“绝对值(…)”积木修改而来的。这个积木叫做“数学函数积木”，它提供了一系列有用的数学函数，可供编程中使用。cos 是一种三角函数，叫“余弦函数”。它具体的含义要到中学才能明白。
注意有 cos 函数这一行： (100) * (1 – cos(方向))，恰恰是笛卡尔心形线公式右侧 a (1- cosθ) 的具体化实例。这里，我们用 (100) 赋值给了公式里的 a，用 (方向) 替换了公式里的 θ。
之后，编辑 pencil 角色的代码：
运行：
上述代码运行后，呈现开篇图中的效果。
这个程序还可以绘制其他极坐标方程，小朋友们可以尝试更多：
我们先把 Descartes 代码中的“移到 x:(0)y:(100)” 改为 “移到 x:(0)y:(0)”，让作图中心回到坐标格纸的原点 (0, 0)。
然后在 “移动(…)步” 积木内分别尝试以下公式：
圆：(100) * (cos (方向) )
4瓣花：(100) * (cos ( (2) * (方向) ) )
3瓣花：(100) * (cos ( (3) * (方向) ) )
8瓣花：(100) * (cos ( (4) * (方向) ) )
… 可以找找花瓣数量和“(方向)”前面的系数之间有什么规律。
双翼异形曲线：(方向) * (sin (方向) )
海螺壳：( (方向) + (180) ) / (3)
也可以胡编乱造一些公式，让计算机绘制，看看有什么效果。
讲解：
本集程序虽然只有 20块积木，拼起来不难，但可理解性是比较差的。实际上，我们是为了刻意缩短程序长度，牺牲了逻辑的清晰性。不过，鉴于函数、极坐标的概念也不是学龄前小朋友能够理解的，这里就压根不打算讲明白为什么本程序能画出心形线和其他图形了。
唯一值得对小朋友提及的，就是“画笔”积木箱中几块积木的作用。“全部擦除”、“将笔的颜色设为(…)”积木顾名思义，无须多讲。“落笔”、“抬笔”是配合角色的运动，实现留下运动轨迹的功能。在“落笔”之后的运动，所经之处都会留下笔迹，直到“抬笔”为止。