6、卢瑟福-玻尔原子模型
玻尔角动量量子化条件：
|r × p| = N * h / 2 π
轨道能级：
E_N = – m e^4 / [2 N² (h/2π)² (4 π ε0)²]
玻尔模型与本文介绍的其他公式相比有一个最显著的特点，那就是它已经被认定是错误的。而且不是那种“在一般条件下仍然近似成立”的退而不休，是直接被后来的理论颠覆了根基。尽管这样，卢瑟福-玻尔的原子模型依旧是今天量子物理学必讲的课程，因为它体现了人们对量子世界认识的过程，也是对后续理论的重要启发。
在19世纪末、20世纪初，人们关于物质微观结构的概念来源于以下知识：首先，近代原子论在19世纪发展成熟，化学反应的倍比规律使人们相信物质有最小的基本组成单元；人们区分了原子、分子，发现了几十种化学元素，排列了元素周期表。1897年，汤姆生通过阴极射线在磁场中的偏转发现了电子，给出了电子的荷质比；1898年，卢瑟福用类似的方法区分了铀元素放射出的 α射线和 β射线；1909年，密立根通过油滴实验测到了元电量，证实了电子是离散的；1911年卢瑟福通过 α粒子散射实验证明了物质的正电荷和质量集中于很小的空间区域中，即原子核。至此，一个关于原子结构的模型呼之欲出。
显然，已知了原子由电子和原子核组成后，可想象的图景变得更加具体。在排除了汤姆生的原子结构枣糕模型之后，剩下的备选项还有行星模型、晶格模型等。其中，行星模型把原子内部想象成太阳系的样子，电子与原子核之间的库仑力提供了圆周运动的向心力。出于期待微观世界和宏观世界的“雷同”，人们天然地喜爱这个模型。但行星模型有个致命问题，根据经典电磁学，圆周运动的电子会辐射电磁波，轨道会逐渐变小，最终掉进原子核中。
很快，玻尔把新兴起的量子概念引入到原子模型中，提出了一种解释原子大小稳定性的理论。他假设电子绕原子核转动的角动量必须是 h / 2 π 的整数倍数，同时假设当且仅当体系内的动能+库仑势能发生改变时，才会辐射或吸收光子。
对于围绕氢原子核运动的电子（质量 m，电量 -e），根据库仑力等于向心力，有：
F = e² / r² / (4 π ε0) = m v² / r = p² / m / r
将上式与玻尔角动量量子化条件 r * p = N * h / 2 π 连立，有：
r_N = N² (h/2π)² * (4 π ε0) / m / e²
当 N = 1 时，推算出的氢原子半径约为 0.53 埃米，这与通过阿伏加德罗常数估算的原子尺寸数量级是吻合的。
更进一步，人们意识到，不同玻尔半径的轨道总能量（电子动能与它的库仑势能）可以很容易被表示出来：
E_N = Ek – V = p² / 2m – e² / r / (4 π ε0)
= – m e^4 / [2 N² (h/2π)² (4 π ε0)²]
当 N = 1 时，轨道总能量为 -13.6eV；第 N 层轨道的能量就是 -13.6eV 的 1/N²。电子在不同能量的轨道之间跃迁，需要吸收或释放的能量也可以确定，而根据 ΔE = h ν，玻尔模型能够预测原子的发射、吸收光谱。而当时人们对氢原子光谱的研究，已经有了很长的时间，并发展出了巴耳末公式、里德伯公式等经验公式。玻尔原子模型能够在很大程度上解释氢原子谱线的分布规律。因此，该模型提出后，被普遍认为已接近了原子结构的真相。
在巨大的成功之余，人们也清醒地看到玻尔理论有一些局限性。首先，在外推到解释其他原子光谱时，模型不再给出正确结果。即便是对于氢原子谱线，玻尔理论也不能解释谱线的精细结构，以及不同谱线的相对强弱。因此，玻尔本人也承认这只是一个过渡理论。
站在今天，我们已经知道，在这种圆周运动的图景中，电子的位置和动量同时具有确定值，违反了不确定性原则，该图景不符合微观世界的基本规律。玻尔模型能够解释一部分试验现象，有很大的巧合成分——它正好猜中了氢原子束缚电子的能级分布，事实上连角动量都没有完全猜对。基本上属于第一步就错了，但“撞大运”得到了正确答案的一角。将它推广到其他情景得到错误结果，也就不足为怪了。但这个幸福的错误，也有巨大功劳，它揭示了电子在原子中的运动也有量子化特征。这就促使物理学家对量子化背后的成因做了更大胆的思考。
7、德布罗意波
λ = h/p
ψ(x, t) = A e^[i (p·x – E*t) / (h/2π)]
到目前为止，我们对重大物理发现的叙述都是以时间线为依据的。如果讲述 1910年代物理学发展的成就，就不能不提爱因斯坦的广义相对论。然而广义相对论的难度显然过大，对于本文这类浅说 + 不严谨的娱乐性推导来说，实在是鹤立鸡群。因此，我们先沿着量子力学的主线前进，将时间跨越到 1920年代。
对于新诞生的玻尔原子模型，有科学家开始思考角动量的量子化究竟意味着什么。法国物理学家布里渊曾提出，电子围绕原子核运动并非不能辐射电磁波，而是它激发了原子核周围的“以太”产生波动，这种波动在电子轨道上形成驻波，造成最终没有向外释放电磁辐射；而驻波的波数必须为整数个，也解释了轨道半径的量子化。
这个古怪想法被一位同样离经叛道的博士生吸收，德布罗意在攻读朗之万的博士时想到，既然光可以兼有波动性和粒子性，那么传统认识中的微观粒子也可能兼有波动性，这就没有必要假设在电子轨道上存在“以太驻波”，电子本身就兼有波动性。同样，这一假说也能推导出玻尔量子化条件。
德布罗意同学把这个想法扩展成了他的博士论文，虽然篇幅不长，但这篇论文绝对堪称人类历史上对科学贡献最大的博士论文之一。无论是看在导师朗之万的面子上，还是确实震惊于文章的创造性，德布罗意的答辩委员会也对他的短文给予了高度评价。不过每年得到高度评价的博士论文成百上千，真正让德布罗意理论受到追捧的，还是来自爱因斯坦的热情肯定。
光波具有粒子性，而电子具有波动性，这种哲学上的思辨让爱因斯坦激动。尤其是“电子是一个粒子”的经典概念，仔细推敲的话，本身就只来源于人们的想象。回忆电子发现的过程，无非是人们发现了一束物质流，测量到它具有固定的荷质比，后来又证实了它有离散的质量、动量和能量。并没有任何实验证据表明电子有小球一样的形状，这纯粹是人们臆想的。那么，为什么不把它想象成类似于光子的样子 —— 光子同样有质量（相对论质量）、动量和能量，还同时具有一个波长。德布罗意是指出这种可能性的第一人，他的这一洞见力让后来的物理学家钦佩不已。
在德布罗意假说得到实验检验之前，由于受到爱因斯坦推动，就已经有不少物理学家开始认真思考德布罗意波的物理意义。既然物质也是波，那它是一种什么波，怎么表示，成了最基本的问题。
德布罗意虽未说明物质波是什么波，但对物质波的波长已经进行了讨论。尽管本节的第一个公式 λ = h/p 没有直接出现在德布罗意的论文中，但一般认为是德布罗意论文的显然推论。对于光子，这个等式就是 E = h ν ，E = m c²，p = m c，λ = c / ν 四个关系式的简单代入。对于电子，从“驻波假说给出玻尔量子化条件”的角度看，也可以理解为它是由玻尔条件 r*p = N*h/2π，以及 N*λ = 2πr （圆轨道一周有 N 个波长的驻波）两个关系式引出的。两者都只有初中难度，是本系列中最轻松娱乐的不严谨推导。
然而物理学家不会只满足于这样的轻松。由于人们早已为描述理论和工程中的各种波动现象，积累了相当完善的数学工具，关于物质波只给出一个波长未免太寒酸了。就像你家的豪华厨房有全套德国 Miele 的厨电，而打开冰箱发现只有一袋速冻饺子一样，太不让人得志。但要具体给出波动的物理量，又实在摸不着头脑。可见，在这么模糊的条件下猜测波函数的物理学家，真正是抽象能力极强的天才。
现在，让我们按事后诸葛亮的方式重演这个过程。我们要给物质波建立一个数学模型，但只知道其波长由动量决定，剩下的细节需要在尽量不添加多余元素的前提下“脑补”。首先，物质波既然是波，那就要有相位的概念，波的所经之处，每个位置的相位应该从 -π 到 +π 反复变化着，这是任何波都应该有的特征。第二，物质波应该是在空间上附着于粒子附近的 —— 当谈论核外电子的物质波时，我们显然关注的是在电子轨道附近的波动；当研究一个密闭盒子里的粒子时，我们也不希望它的物质波在别的不相关的区域。这样，我们很自然地要求物质波的“强度”有一个空间分布。在粒子的活动范围内，显然波的“强度”应该是高的，而在没有关系的区域，或是说粒子不可能抵达的区域，这个“强度”可以是 0。
依据这两个最自然的想法，构建物质波的数学框架，显然需要两个函数关系，一个是波的相位与位置、时间的函数关系，另一个是波的“强度”或“振幅”与位置、时间的函数关系。初中生可能会想到类似于 f(x, t) * Sin( g(x,t)) 这样的函数。这是一个很好的猜想，既有振幅，又有相位，并且都是位置与时间的函数。但还用厨房的比喻来说，这样的数学形式只能算个煤球炉子，用它做顿大餐着实有失体面。更好的工具是利用复数，复数的模对应波的“强度”，复数的辐角对应波的相位，这样我们用一个关于位置矢量 x、时间 t 的复函数 ψ(x, t) ，就可以表示一个满足上述需要的波。
那么 ψ(x, t) 有没有最简单的解析式呢，这是有的，不妨给出：
ψ(x, t) = A e^[i (k·x – ω*t)]
该式引入了复变指数 e^iθ 来表示波动的相位部分。这个 ψ(x, t) 函数的模永远是常数 |A|，而辐角是 arg(A) + (k·x – ω*t)。显然，函数的辐角变化在以波动方式传播，等相位（辐角）位置的传播关系为：
k·x₁ – ω * t₁ = k·x₂ – ω * t₂ →
(x₂ – x₁) = (t₂ – t₁) * ω k / |k|²
说明波速为 v = ω k / |k|²（相位传播速度）。
波长的矢量 λ = (2π / ω) v = 2π k / |k|²
再由德布罗意关系，波长 |λ| = h / |p|
故 k = p / (h/2π)
又设定物质波的频率满足普朗克关系 E = h ω / 2π，有：
ω = E / (h/2π)
整理，得到：
ψ(x, t) = A e^[i (p·x – E*t) / (h/2π)]
至此，我们在仍然没有搞清楚物质波是什么的前提下，得到了一个具体的波函数。该波函数表示的是一个在空间各处“强度”相同的平面波，其波长满足德布罗意关系、频率满足普朗克关系。这个数学形式的波函数，也经常被称为德布罗意波。有了它，就像是冰箱里终于找到一块带着大理石花纹的牛肉，虽然不知道从那来的，甚至是真牛肉还是人造肉都不清楚，但至少可以满足一阵科学家的口腹之欲。
如果看解析式不够直观，本站做了一个动图辅助理解德布罗意波。物质波的分布用平面上阵列式的红蓝转盘表示 —— 每个转盘的位置是固定的，其直径表示此处物质波的模，转角表示物质波的辐角。为了看得清楚，程序把辐角在 0~π 的转盘渲染成红色，-π~0 的转盘渲染成蓝色。
上图中，转盘的直径不随位置改变，转角为 x*0.5 + y*0.25 – t*2π，正如一个动量为（0.5, 0.25）的德布罗意波。从图中很容易看到波长和波的传播方向。
注意在前述推导中，物质波的相位速度 v 并不是粒子的运动速度。可以看到，上面这个波的数学模型是“生拼硬凑”出来的，我们施加了波长满足德布罗意关系的要求，施加了频率满足普朗克关系的要求，这就使得它的相位速度也被决定了，而这个被决定的波速的物理意义并不是粒子的实际速度。
在实验物理学家那边，关于物质波的进展也是相当神速。其实在德布罗意答辩时，就回答了“如何在实验中检验你的理论”的问题。德布罗意给出了一个相当靠谱的回答，就是寻找电子在晶体中的衍射图像。在他毕业3年后，美国贝尔实验室的物理学家戴维孙成功得到了电子衍射图案，明确证实了电子存在波动性特征。德布罗意的成功，也成了人类理性思想取得伟大成就的标志性事例。