10个带人们走向现代的物理公式(二)

4、狭义相对论质能方程

E = m c²

上篇讲到,麦克斯韦方程提出后,引起了一连串连锁反应。首先,光的电磁波本质说得到确立。其次,理论对光速为常量的预言,导致人们思考,这个求解得到的光速是参照的哪一个参考系。看似合理的以太参考系,遇到了试验的挑战,人们无法测量到地球相对于以太运动的速度。因此,又有人提出了相对以太运动会造成物体结构改变,出现“钟慢尺缩”的假说。

爱因斯坦对这个解释并不满意。他指出,假定存在一个绝对静止的参考系是多余的,因为并不能做任何实验分辨观察者是否处在这样的参考系中——即便某人碰巧处在相对以太静止的绝对参考系中,他也拿不出任何可以“炫耀”的物理证据。同时,假定物质结构受相对以太运动影响是不令人满意的,理论在没有描述物质结构的情况下,却给出了物质结构缩短的公式,这不属于公理化的思路。

爱因斯坦找到了一个更自洽、优雅的解读,他提出不需要假设存在以太和绝对静止系,只要符合两条原则,也能解释迈克尔逊-莫雷实验的零结果。第一条原则是相对性原理,即任何惯性(匀速直线)运动都只能被看作是相对的,在不同的惯性坐标系中,物理规律的形式都是相同的,因而不存在地位特殊的惯性系。第二条原则是存在一个不变速度 c,在任何惯性参考系下,光速永远为c;而任何两个有观测者的惯性参考系,其相对速度永远小于c。

根据爱因斯坦的理论,存在不变速度 c 是时空本身的性质。实际上这个 c 不一定跟电磁理论绑定在一起,只是人们率先在电磁学中发现了它。钟慢尺缩效应的电磁结构解释被抛弃了,取而代之的是(被观察的运动中的)时空本身可以(在外部观察者的视角中)伸缩的假说。

在“时空伸缩”假说下,洛伦兹变换的公式仍然相同,只是意义有区别。物理事件在外部观察者的坐标下为 (x, y, z, t),在动系中该事件的坐标要按洛伦兹变换变为 (x’, y’, z’, t’),如此坐标变换,麦克斯韦方程仍具有相同的形式,故无论外部观察者还是动系内的观察者,都不能通过电磁学实验找到其参照系的优越性。

爱因斯坦进一步分析,力学实验也应当服从狭义相对论的原则。在两个参考系中观察同一个碰撞实验,观察者都应当得到动量守恒定律,而这将导致出现“运动物体的惯性(质量)比它静止时大”的结果。

推导这个论断,一般是考虑下述情景:有两个在静止时完全相同的小球,观察者测得其静止质量均为 m0。后来,小球1 在外部作用下获得了速度 v(相对于观察者和小球2)、沿着质心连线向静止的小球2 飞去。这时,谨慎的观察者可以认为飞行中的小球1 惯性质量变为未知,记为 m1。再后来,两个小球发生对心正碰“粘”在一起,观察者看到结合体以速度 u 离去。观察者可以根据动量守恒,计算 m1:

m1 v = (m0 + m1) u  →
m1 = m0 u / (v – u) = m0 / (v/u – 1)       式(1)

假设还有一个“航拍器”跟踪飞行的小球1 且保持同速(但彼此分离),航拍器看到的景象是:小球2 以相反的速度 -v 向小球1飞来,然后结合体以速度 u’ 离去。根据系统的对称性,显然 u’ = -u。

如果我们都以碰撞时刻为坐标原点,那么结合体在观察者参考系和航拍器参考系下的运动轨迹分别是:

x = u * t
x’ = -u * t’       式(2)

而根据洛伦兹变换,两个坐标系的关系为:

x’ = γ (x – v*t)
t’ = γ (t – v*x/c²)       式(3)

将式(3)代入式(2),消去 x、t、x’、t’,可得到

-u * (1 – u*v/c²) = (u-v)

即 u² -2c²/v u + c² = 0           式(4)

又因 u < c,故此一元二次方程的解应取较小的一个,为:

u = c²/v – c²/v sqrt(1-v²/c²)
  = c²/v(1 –  sqrt(1-v²/c²))            式(5)

再计算式(1)中的分母 v/u – 1:

v/u – 1 = v²/c²/(1 –  sqrt(1-v²/c²)) – 1
= (v²/c²- 1 +  sqrt(1-v²/c²))/(1 –  sqrt(1-v²/c²))
= sqrt(1-v²/c²) (-sqrt(1-v²/c²)+1) / (1 –  sqrt(1-v²/c²))
= sqrt(1-v²/c²)

因此,式(1)化为:

m1 = m0 / sqrt(1-v²/c²)            式(6)

这就是狭义相对论中的质速关系。这个数量关系可以在粒子加速器中得到很高精度的检验,至今屹立不倒。在爱因斯坦提出狭义相对论之前,物理学家就已经发现了电子质量在极高速运动时会变大,只是没有合理的解释。是狭义相对论的提出,把洛伦兹变换、质速关系一并解决,因此成为爱因斯坦的成名作之一。

不过相信读者已经习惯了,事情总是没完没了,动量守恒解决了,难道质量守恒可以随便丢掉?速度增加导致质量增大是怎么回事?

就上边的例子而言,由于我们是通过系统外的作用把小球1 加速到 v,因此,显然应该怀疑是那个外部作用破坏了守恒律,因为那时的系统并不孤立。外力对小球1 做功,赋予了它动能,与此同时外部系统也会消耗相等的能量。

如果考察这个小球1 加速过程的微分,根据功和能量的定义,其微分为:dE = F ds

动量的微分为:dp = F dt

因此 dE = (dp / dt) * ds = v dp         式(7)

而 dp = d(m1 * v) = v d(m1) + m1 dv      式(8)

其中,d(m1) 可以通过对式(6)求微分得到:

d(m1) = m0 * (-1/2) * (1 – v²/c²)^(-3/2) * (-2v/c²) dv
= m1 * v / (c²-v²) dv            式(9)

式(9)代入式(8)得到:
dp = m1 (c²)/(c² – v²) dv

再代入式(7)、式(9)得到:
dE = m1 c² v/(c² – v²) dv = c² d(m1)          式(10)

由此看到,小球1 质量的增量 d(m1) 与注入它的能量增量 dE 有比例关系,比例因子为 1/c²。每注入一份能量 dE,小球的质量就增加了 dE/c²。而在没有能量注入和能量耗散时(碰撞粘合的动能损失也转化为内能,在不考虑能量辐射的瞬时,总能量仍保持不变,故对于结合体质量,我们直接用了 m0 + m1),质量(能量)守恒仍然是成立的。

对式(10)积分,可以知道动体的动能:

Ek = m1 c² – m0 c²

定义总能量 E = Ek + m0 c²,动体的质量 m1 记为 m,则有

E = m c²

这也就是大名鼎鼎的质能方程。

它暗示了物体的能量由其惯性质量决定,即使静止的物体,只要它有质量,也储存了一部分“质能”,而且这种质能惊人之大,足以制造原子弹和供给恒星在数十亿年里持续发光。在狭义相对论出现之前,化学家曾认真估算过太阳的寿命,最多只得到了几万年的结果,而在当时进化论已经出现,地质学也对地层沉积速度进行过分析,都认为几万年是不够解释地球的年龄的,狭义相对论的出现终于消除了这些困惑。人们对恒星能量来源的更深刻理解,也进一步削弱了各种“超自然论”的市场。

5、普朗克-爱因斯坦关系

E = h ν

现在让我们暂时把目光从相对论上移开,转到 1900年前后的另一桩奇事上,法拉第和麦克斯韦打开的魔盒还对热力学产生了影响。

在了解到电磁波能够穿越真空传递能量后,热辐射也有了更好的解释。人们假设物质内有一些振动的带电粒子对,无时不刻发出电磁辐射;同时,这些振子也能吸收空间中的电磁辐射能量,使体系处于热平衡之中。这种模型看上去十分合理,人们期待它能够解释观察到的各种热力学现象。

但是在试图解释黑体辐射规律时,电磁振子模型还是遇到了难以克服的困难。黑体是能够吸收各种波长的光与电磁波的物体。想象一个内部涂黑的厚纸盒,表面扎了一个小孔,各种波长的光进入小孔后,基本都被纸盒内壁多次漫反射并最终吸收,因此,这个小孔和它背后的体系就可以被看作一个黑体。当黑体被加热到一定温度时,反而会发散各种波长的辐射。这本身倒不神奇,因为那些在黑体中起到吸收辐射作用的振子,没理由不在高温时反过来释放电磁波。真正奇怪的是,黑体在每个波长段的辐射功率,呈现了特殊的规律,振子模型似乎不能解释。在紫外光区,按电磁理论预言的总辐射功率竟然是无穷大的,这显然说明模型中存在错误假设,而人们在很长一段时间内不知道错在哪里。这种“紫外灾难”被开尔文爵士称为“飘在物理学万里晴空中的乌云”之一(另一朵就是之前讲过的迈克尔逊-莫雷实验的零结果)。

到了1900年,人们已经通过精细实验积累了大量关于黑体辐射功率的数据,普朗克从数据中猜到了一个拟合很好的公式,而在此之前人们要用两个不同的公式来分别拟合红外区间和紫外区间。通过数据猜测公式听上去不算太难,但如果读者看到普朗克猜中的公式的形式,还是会大吃一惊:

E(λ, T) = (8πhc / λ^5) / (e^(hc / λkT) – 1)

在电子计算器都还未出现的年代,能猜中这么复杂的式子,不得不钦佩普朗克扎实的数学基本功。普朗克在 1900年10月19日向德国物理学会提交了他的初步成果。单单这一发现,就至少可以收获一个以他名字命名的公式。但普朗克更加巨大的成就,还在于他用“世纪之光”般的洞察力找到了公式背后的解释。在思考了8个星期之后,普朗克发现,如果“绝望地”假定自然频率为 ν 的振子必须以 h ν 为单位一份一份地吸收和释放能量时,上述黑体辐射公式就可以被推导出来,紫外区的辐射总功率也随之变为一个收敛的积分。

普朗克在 1900年12月14日的德国物理学会会议上报告了这个发现,因此,这一天被普遍视为量子物理学的诞生日。

颇具戏剧性的是,普朗克本人并没有立即意识到这个发现的重要性。相反,在之后很长一段时间内,他还是坚持认为“能量包”只是一个数学上的处理手段,而不是物理实在,“能量包”背后应有经典电磁学的解释。直到十余年后,经过无数次失败的尝试后,他才确信经典物理学是无法解释他发现的黑体辐射公式的。

普朗克的这种“保守”并不是没有意义的,正像他自己说的,那些试图挽救经典物理的失败尝试,恰恰印证了发展新理论的必要。

在普朗克困惑于量子现象没有经典解释时,爱因斯坦则敏捷地把这个假说应用到了另一个领域中,解决了一个同样困扰物理学家的问题,这就是光电效应的解释。

光电效应是一个不太困难的实验,科学家发现,当光照射到一些用绝缘物支起的金属表面时,有可能会让金属带上正电。进一步分析表明,这是由于光照让电子从金属表面逸出。实验物理学家又深入研究了光源和逸出电子的关系,结果发现,单个逸出电子的能量竟然和光强无关,而是由光的频率决定的——当用高频率的紫外光做实验时,逸出电子的能量较大,而用低频率的光做同样的实验,无论光强多大、功率多高,单个逸出电子的能量都较小,甚至根本无法产生光电效应。这也是一个经典电磁学不能解释的现象。

爱因斯坦从普朗克对黑体辐射的解释中得到启发,他提出金属表面的电子也是一份一份地吸收光能,“能量包”的最小单元正是普朗克提出的 h ν。若要电子从金属中逸出,必须一次性吸收大于 W 的能量,否则,电子马上又会释放掉刚吸收的能量 h ν,形成漫反射现象。根据这个解释,逸出电子的动能可以被准确预测,为:

Ek = h ν – W

该式可以被实验检验,在技术上几乎没有什么难度。

爱因斯坦把普朗克的“能量包”假说更是大胆推进一步,他宣称,粒子一份一份地吸收、释放光能,并不是简单的数学处理,或是背后有经典机制,而是光(电磁波)本身携带的能量就是一份一份的,每一份能量可以看作一个光子。只有把光视为光子的洪流,光电现象和黑体辐射现象才能被合理解释。同时,这种光子又不同于牛顿臆想的光子颗粒,仍然具有波长、频率等波的特性,是一种具有波粒二象性的能量子。

根据狭义相对论的质能方程,可以预见光子具有质量:

E = h ν = m c²     →   m = h ν / c²
以及动量  p = h ν / c = h / λ

爱因斯坦的光子说,再一次震动了物理界。光电效应的实验事实简单明了,理论分析又首尾相接、自圆其说。这时人们才认识到,普朗克引入的量子概念,竟然不止是热力学分支中的一个计算工具,而具有普遍的物理意义,它为人们开启了通往新的物理学的大门。

光子说、狭义相对论、质能方程都是在 1905年一年之内发表的,这一年也被称为爱因斯坦的奇迹年,在物理学的历史上,注定是极不平凡的。此时距离麦克斯韦和法拉第的历史性会面,仅仅过去了 45年。在这 45年间,除了发生了上述我们讲到的科学故事之外,爱迪生发明了留声机(1877)和实用的电灯(1880),奔驰生产出了第一辆内燃机汽车(1887),巴黎建成了埃菲尔铁塔(1889),波波夫、特斯拉、马可尼等人发明了无线电发报机(1894~1896),莱特兄弟驾驶飞机飞上了天空(1903),《泰晤士报》开始通过越洋无线电从美国向英国传递新闻(1903)。世纪之初的人们显然已经做好了迎接崭新世界的准备,而在这个舞台上,物理学家已变得举足轻重。

在下一篇,我们将看到一大批新生代的物理学家走进普朗克和爱因斯坦打开的大门,向世人展示了一个不可思议的微观世界。

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