10个带人们走向现代的物理公式(一)

大千世界,纷繁复杂。鸟儿在天空中飞翔,叶子在秋风里变黄飘落,人们坐在家里读书思考。一切看起来是那么自然,又是那么神秘而精妙。就在几百年前,一些智者拿起了笔和算纸,借助着原始的测量工具、试验仪器,开启了对自然规律的精细探索。

可以想象,当他们要做这件事时,谁也不敢奢望能够把世界改造成今天的模样。他们只是忠实地记录了试验数据,并以最天才的眼光,发现了其中令人震惊的数学规律。

以下这10个发现,就是这样的例子。当这些发现被公之于众后,人们不再依靠煤油灯读书,马匹从交通工具变成了观赏动物,大洋两端的人可以随时面对面聊天,生命的奥秘也被逐渐揭开。下面,就让我们再欣赏一下这些伟大的发现。

1、麦克斯韦方程组
∇・E = ρ/ε₀
∇・B = 0
∇×B = μ₀ (j + ε₀ ∂E/∂t)
∇×E = -∂B/∂t

1860年,29岁的麦克斯韦带着他的《论法拉第的力线》来到英国皇家科学院,拜访了已经年近70岁的法拉第教授本人。即便法拉第在那时早已是显赫的科学巨匠,他提出的力线和场的概念,仍然被当时的物理学家认为是离经叛典。法拉第善于用热情形象的语言和比喻解释科学概念,他在科学院举办的科普讲座总是座无虚席,甚至维多利亚女王的丈夫经常带着王子来旁听。但法拉第在数学方面相当薄弱,这与他早年不幸的辍学经历有关,因此他关于力场、力线的深刻见地,只能用图形语言进行描绘,而被相当一部分物理学家所怀疑。

麦克斯韦则更像一个典型的“学神”,从小学到大学一路开挂,具备扎实的数学功底。他在1855年左右经导师推荐,研读了法拉第关于电磁力线的学说,并在大量实验后认识到了这一理论的精妙。之后,麦克斯韦开始着手用准确的数学语言重建法拉第的理论。

我们上边看到的这4个方程是微分形式的麦克斯韦方程组,它和麦克斯韦在1860年代给出的积分形式的方程组是等价的。由于形式上更简洁,因此入选为本文中第一个伟大公式。

这组方程囊括了经典电磁学中全部的实验发现——方程一对应了高斯定理,电场的散度正比于电荷密度;方程二表示磁场的散度总为零,意味着不存在磁单极子;方程三表示电流和变化的电场可以产生有旋的磁场;方程四表示变化的磁场可以产生有旋的电场。

本文假定读者是已经学完高中理科课程和一部分大学先修课的中学生。有的读者可能不熟悉公式中的微分符号,这里做一个简要的介绍。


倒三角符号 ∇ (读作 nabla)可以被看成是一个特殊的“矢量”,只不过这个“矢量”的分量不是数值,而是微分符号:

∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) ,每个分量都是对相应坐标求偏导数的算符。

对于一个关于坐标 x, y, z 的标量函数 f(x, y, z),将 ∇ 作用于f,∇f 就是 f 对三个空间坐标的偏导数组成的矢量 (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z),∇f 也叫做 f 的“梯度”。形象地看,梯度指向函数取值增大最快的方向。人们常说的温度梯度、浓度梯度,就是以温度、浓度等物理量作为空间位置的标量函数,然后应用这一概念。

下图显示了一张太阳内部温度分布的示意,在某个等温面上,温度梯度垂直于等温面、指向高温的内部核心,如图中箭头所示。这些箭头就是在那些位置上,温度梯度的矢量。

标量场的梯度


既然把 ∇ 看作一个矢量,那么矢量可以有点乘叉乘的运算。两个矢量做点乘,得到一个标量,也就是把对应分量先相乘,再求和:

内积

上图是我们把两个矢量的分量,分别作为表格的行和列,表格中的单元格,就是对应分量的乘积。可以看到,点乘相当于“取出”对角线上的单元格,乘以系数 1(可以看作其他单元格的系数是 0),然后加在一起。

据此,可以据此写出 ∇・E 的表达式:

∇・E =  (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)・(Ex, Ey, Ez) = ∂Ex/∂x + ∂Ey/∂y + ∂Ez/∂z

∇ 点乘一个矢量场,就称为这个矢量场的“散度”。为什么称它为“散度”,从下图中可以看出原因:

矢量场的散度

对空间中某处的一个小体积元 dx dy dz,我们可以表示出在这个体积元的 6 个外表面上,场的向外发散的总通量是多少。显然,作为一个闭合面,场的横穿而过的、不变的部分(Ex、Ey、Ez)“进出抵消”,不形成通量。而微分增量部分(黄色小箭头)将形成向外的通量,数值为:

dΦ = dEz dx dy + dEy dx dz + dEx dy dz

单位体积(dV = dx dy dz)上新增的对外发散通量 dΦ/dV 显然正好等于 ∂Ex/∂x + ∂Ey/∂y + ∂Ez/∂z,这就是散度的定义。也就是说,散度单位体积上场的新增发散通量

这样,不难理解,∇・E = ρ/ε₀ 就是微分层面的高斯定理,即小体积元中包裹的电荷量,决定了这个小体积元表面对外发散的电通量。而 ∇・B = 0,也就是闭合曲面磁通量总是 0 的微分版本。


对于 ∇ 和一个矢量场叉乘的情况,也可以有类似的分析。

两个矢量做叉乘,得到的是一个新的矢量 —— 也称它们的外积。如果是两个三维欧氏空间中的矢量,外积的方向和两个矢量形成的平面垂直(并按右手定则确定方向正反),外积的大小等于两个矢量构成的平行四边形的面积,这是几何上的解释。

可以顺便提一下,前边介绍的点乘,也称为矢量的内积,在几何中的含义可以理解为两个矢量先往某一者的方向上投影,再把投影的大小做乘积。

由于我们说 ∇ 的分量都是微分算符,很难去把它想象成几何空间中的矢量。因此,我们只能回顾叉乘在代数中的定义。从代数上来说,矢量 AB 的叉积 A×B 可以按各个分量的运算定义:

A×B = (Ay Bz – Az By, Az Bx – Ax Bz, Ax By – Ay Bx)

这个运算看起来好像比点乘要复杂得多,实际上,二者恰好有完全相反的逻辑:点乘是把两个矢量所有对应的分量做乘积,并把结果加在一起;而叉乘是把两个矢量所有不对应的分量做乘积,并把结果写在得数不对应的分量上,如下图所示:

外积

再展开说,被乘数、乘数、得数,都要“来自”或“去”不同的分量,而乘积的正负性,取决于被乘数、乘数、得数的分量的指标排序,如果是 x-y-z 这种排序,那乘积取正值,每交换一对指标,就改变乘积的正负号。

这是一个按“全反对称”方式组合的分量的乘积,我们可以用 3个 3×3 的系数矩阵描述这种全反对称组合。这 3个 3×3 的矩阵,构成了一个 3阶三维张量(一种 3x3x3 的数据结构),记为 eᵅᵝᵞ,称为“全反对称张量”。在以后的四维坐标系中,也可以按这种逻辑,借助4阶四维全反对称张量,扩展叉乘运算的定义。

按上面定义,将 ∇ 叉乘一个矢量场,就可以给出其代数关系:

∇×E =  (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)×(Ex, Ey, Ez)
= (∂Ez/∂y – ∂Ey/∂z, ∂Ex/∂z – ∂Ez/∂x, ∂Ey/∂x – ∂Ex/∂y)

∇×E 称为矢量场 E 的“旋度”,旋度的大小反映了场在这个点附近新增涡旋的程度:

矢量场的旋度

我们还是看小微元 dx dy dz,先看 dx dy 平面(上图为了表示清楚,把矢量画在了正前方的表面),以四条边楞为闭合路径,场在逆时针回路上投影的曲线积分为:

E∙dl = (∂Ey/∂x – ∂Ex/∂y) dx dy

和前边分析类似,Ex、Ey 不变的部分在路径上“顺”、“逆”抵消,只留下微分增量部分对闭合曲线积分的结果有影响。

这个数值表示的是场在 dx dy 平面上新增的逆时针环量,环量方向记为 dx dy 平面的法线方向,也就是 z 方向(黄色箭头)。新增环量的大小 E∙dl 与 dx dy 的比值,正好是 E 的旋度 ∇×E 代数表达式中 z 的分量。

对于 dy dz、dz dx 平面,情况也是一致的。 可见,“旋度”表达式反映的是场在单位面域上新增环量的多少

与高斯定理对应的,是矢量对闭合曲线积分和它的旋度对曲面积分的关系,称为斯托克斯(Stokes)定理:

∮ F∙dl = ∫s  ∇×F∙dS

这样也就可以理解,后两对麦克斯韦方程是感生电磁场和电流产生磁场的微分版本。


可以看到,麦克斯韦方程和在中学物理里熟悉的库仑定律、安培定则是很不一样的,它并不是直接给出场强在空间中分布的函数,而是给出场在任何一个微元的微分,如果你想求解不随时间改变的场的分布的话,还要去做积分。初看来又麻烦又不直观,但实际上,库仑定律、安培定则只是在场不随时间变化时成立,一旦遇到时变的电磁场,这种超距观念就不再正确了。

法拉第一直想通过实验否证电磁力传播的超距观念,但在当时的技术条件下,想在实验室里发现以光速传播的电磁场变化的时差,是极其困难的。

在1860年那次会面中,法拉第亲切地勉励了年轻的麦克斯韦。虽然不清楚年迈的法拉第能否理解麦克斯韦引入的数学方法,但至少法拉第认可了麦克斯韦对电磁力线学说的理解。法拉第鼓励道,“你不应该只满足于用数学解释我的理论,你应该超越它!”

在1865年,麦克斯韦辞去教授的职位,专心整理关于电磁学的理论,并在1873年正式出版了《电磁学通论》。麦克斯韦将百年来人们发现的电磁学实验规律,高度综合在一个统一、优雅的数学框架中,其成就不亚于牛顿对力学定律的综合。正是在麦克斯韦的理论上,人们才能更自信地驾驭奇妙的电磁现象,发明出各种彻底改变世界的产品。

不过在那个年代,能够熟练掌握麦克斯韦的数学工具的科学家和工程师尚且不多,从理论的诞生到验证花了惊人的二十余年时间。以至于麦克斯韦并没有在有生之年得到应有的荣誉,也没有等到他预言的电磁波被发现。而在今天,一个5岁的孩子就能按照电子积木的说明,拼插出发射和接收电磁波的电路,不能不让人感叹科技发展的代差。

2、电磁波波速
c = 1 / Sqrt(μ₀ ε₀)

严格来说,这个公式是麦克斯韦方程组的推论。作为一个推论,再次入选本文10大公式,也并不为过,因为它揭示了光和电磁波在本质上是同一种现象。

早在完成电磁波的推导之前,麦克斯韦就发现了真空中的光速 c 和真空中的电介常数 ε₀、磁导率 μ₀ 的唯象关系。加之1845年法拉第发现磁场能改变介质中传播的光的偏振,敏感的物理学家能够察觉到,光与电磁现象必定存在某种内在的联系。法拉第在一次科学院公众讲座上就讲到了这个问题,他颇有远见地预言,电场和磁场的交替震荡应该能够在空间中传播开来,也许光就是这样的电磁波动。这种朦胧的猜测,最终被麦克斯韦以严密的数学予以证明。更令人赞叹的是,麦克斯韦理论得出的电磁波传播速度,果然就是上面那个唯象公式。

在今天,推导电磁波的波动方程,已经成了本科生的课堂练习。最简单情形,可以只分析没有电荷和电流的传播空间,这样在麦克斯韦方程中,电荷密度 ρ 和电流密度 j 都恒为 0,即:

∇・E = 0
∇・B = 0
∇×B = μ₀ ε₀ ∂E/∂t
∇×E = -∂B/∂t

将 ∇×( ) 作用于方程三左右两边:

对于等号左侧,又有 ∇×(∇×B) = ∇(∇・B) – ∇2 B = – ∇2 B

等号右侧,有:
∇×(μ₀ ε₀ ∂E/∂t) = μ₀ ε₀ ∂(∇×E)/∂t = -μ₀ ε₀ ∂2B/∂t2

因此,有 ∇2 B – μ₀ ε₀ ∂2 B /∂t2 = 0

同理,将 ∇×( ) 作用于方程四左右两边,也可以推导出:

2 E – μ₀ ε₀ ∂2 E /∂t2 = 0

这就是电磁场的波动方程。为了求解方便,可以考虑一个波动仅沿 x 方向传播的平面波的特殊情形,即:

Ex = Ez = 0
Bx = By = 0
Ey = Ey(x, t)
Bz = Bz(x, t)

根据上一节中“旋度”的定义,不难写出:

∇×E = (0, 0, ∂Ey/∂x)
∇×B = (0, -∂Bz/∂x, 0)

代入后两对麦克斯韦方程,有:

∂Ey/∂x = -∂Bz/∂t
-∂Bz/∂x = μ₀ ε₀ ∂Ey/∂t

电磁场的波动方程也化简为 2个形式一样的标量微分方程:

2 Bz /∂x2 – μ₀ ε₀ ∂2 Bz /∂t2 = 0
2 Ey /∂x2 – μ₀ ε₀ ∂2 Ey /∂t2 = 0

为了解这个方程,可以进行换元:

令 ξ = t + x/v
η = t – x/v

其中 v = 1 / sqrt(μ₀ ε₀)

由链式求导法则,有:

∂f/∂x = ∂f/∂ξ * ∂ξ/∂x + ∂f/∂η * ∂η/∂x = (1/v) ∂f/∂ξ  – (1/v) ∂f/∂η

∂²f/∂x² = (1/v²) ∂²f/∂ξ²  – (2/v²) ∂²f/∂ξ∂η + (1/v²) ∂²f/∂η²

∂²f/∂t² = ∂²f/∂ξ²  + 2 ∂²f/∂ξ∂η +  ∂²f/∂η²

代入 ∂²f/∂x² – (1/v²) ∂²f/∂t² = 0

得到:∂²f/∂ξ∂η = 0

因此,方程的解 f(ξ, η) 可分离变量:

f(ξ, η) = f₁(ξ) + f₂(η)

故任何“行波” f₁(t + x/v) 、 f₂(t – x/v),都是方程  ∂²f/∂x² – (1/v²) ∂²f/∂t² = 0 的解。

f₁( . )、f₂( . ) 可以具有任意波形。不论波形如何,若要两个位置 x₁、x₂ 上函数 f( . ) 的值相等,只需要相位相等,即:

t₁ ± x₁/v = t₂ ± x₂/v

即时间的差(传播时间)应当为:

t₂ – t₁ = ± (x₂ – x₁) / v

显然,±v 也就是等相位平面的传播速度,大小为 1 / sqrt(μ₀ ε₀),这也就是电磁波的传播速度。

我们可以写出一个平面波的特解:

Bz(x, t) = B0 sin(ωt – ωx / c )
Ey(x, t) = B0 c sin(ωt – ωx / c)
其中 c = 1 / Sqrt(μ₀ ε₀)

很容易验证它满足麦克斯韦方程组和波动方程,传播速度为 c。


事情到这里还不算结束,我们得到了一个电磁波的速度,但还没有弄清它是相对于哪个参考系的速度。由于这个速度是我们通过麦克斯韦的微分方程组得到的,显然,它应该是相对于让麦克斯韦方程成立的那个参考系的速度。等等,难道麦克斯韦方程不是对所有参考系都成立?!这是曾经让物理学家发生过困惑的问题。

发现这种困惑并不难,在运动的参考系中,电场、磁场会发生变化,即使不知道麦克斯韦方程,也是理所当然的。比如我们知道运动的电荷会产生磁场,就像直导线产生的磁场那样;但如果观察者和电荷一起以同样的速度运动,那对观察者而言就没有运动的电荷,也就理应没有磁场。再比如在静止的地面上有一个恒定的磁场,那么在相对地面运动的参考系中,必然会因切割磁感线产生感应电场。由此看来,一个点的电场、磁场强度,不仅和坐标 (x,y,z,t) 有关,还应该和参考系的选择有关。

因此很自然地,人们认为电磁波速为 c 的参考系应该是一个特殊的参考系,比如相对于电磁波的波源静止,或者相对于传播电磁波的介质静止。而在其他参考系中,我们应该测量到大于或者小于 c 的电磁波传播速度——这是最习以为常的伽利略速度叠加原理的推论。因此,麦克斯韦方程在伽利略变换下,会具有不同的形式。

先被排除的是波源速度会影响电磁波波速(光速)的假设,首先这违反波动力学常识;其次,用一个很简单的天文现象就可以否证它——人们能观测到遥远的双星绕转,说明两颗星发出的光速是一样的,否则经过漫长的距离,必然有一颗星的光先到,另一颗星的光后到,显现出异常的表观影像。

那么似乎只剩下电磁波波速(光速)相对于传播介质的速度为 c 一种可能了。问题是,在宇宙空间中,是什么介质传播了电磁波?人们开始假设一种以太物质充满了空间,恒星、行星在以太中穿梭,不会扰动以太的分布(否则夜晚星空的影像将极不稳定)。这样,公转中的地球是绝不可能与以太保持时时静止的,因此在地球上不同方向的光速会有不同,体现了地球与以太的相对速度。

1887年迈克耳逊和莫雷设计了一个巧妙的干涉装置,希望观察到不同方向光速差引起的干涉现象。但结果证明,光速在不同惯性系和不同方向上都是相同的。在他们之后,大量物理学家重复了这个实验,进一步证实了各种测量地球与以太相对速度的尝试都只能得到零结果。光速似乎在任何惯性参考系下都保持为 c。这让人们大为惊奇,速度叠加原理竟然在光速问题上失效了!这一发现很快将引起一场理论物理的革命。

3、洛伦兹变换
x` = γ (x – v t)
y` = y
z` = z
t` = γ (t – v x / c2)
其中 γ = 1 / Sqrt(1 – v2 / c2)
带 ` 的量是在动系中的坐标

为了解释迈克耳逊-莫雷实验的零结果,人们首先想到的是检视实验装置本身。1889年,乔治菲茨杰拉德提出了一个天才的想法,他假设物质都是由带电粒子组成的,相对于以太运动能改变物质粒子之间的静力平衡,使运动方向上的量杆缩短。在一个运动参考系中的人和测量工具都会发生这种尺寸收缩,因此,他们自己是察觉不到的,只有在外部的另一个参考系中,才能发现这种尺缩。尺缩正好抵消了光速的变慢,从而使在动系中测到的光速也是 c。

1895年,洛仑兹发展了量杆缩短的假说,他进一步假设运动的时钟也会变慢。与尺缩效应一样,运动中的人的新陈代谢、实验过程和时钟都同步变慢,也是自己察觉不到的,只有在外部参考系才能发现。而量杆和时钟的变化率,可以通过光速不变的要求反推。

按洛仑兹的假说,能够得到一组匀速运动参考系之间的坐标变换公式。在洛仑兹坐标变换下,麦克斯韦方程将保持形式不变,因此解得的电磁波传播速度均为 c。

洛伦兹变换-时间

钟慢的变化率可以按上图的图景推导,假设有一个光源、镜子、接收器组成的系统,以速度 v 沿垂直于仪器的方向移动。光源(接收机)和镜子之间的距离是 L = sqrt(c² – v²) T1/2,光从发出到被接收器探测到,为一个时钟周期。

先看与仪器一起运动的观察者的视角(也称这个运动物体的“固有视角”),在他看来,光的行程就是原路垂直折返(2L`),因此,他认为一个时钟周期耗时是:

T` = 2L`/c = 2L/c = 2 sqrt(c² – v²) T1/2 / c

这是“固有视角”下“物体自己”感知到的时间流逝量,因此也称为“固有时”。须注意,上面还隐含了一个条件,即垂直于运动方向上的空间尺度不发生伸缩(L` = L)。

从外部参考系的观察者看,从上图中可见,运动的钟的时钟周期延长到了 T = 2T1/2

因此,时钟的变化率 T / T` = γ = 1 / Sqrt(1 – v2 / c2)

T 是外部参考系“录得”的时间流逝量,比动系中(“固有视角”下)的“固有时” T` 要长。

对于尺缩效应则,则可以通过这个装置沿运动方向摆放的情景来推导,如下图所示。

洛伦兹变换-长度

在外部参考系中,光源(接收机)和镜子的距离是 L,显然外部参考系看到的一个时钟周期:

T = L/(c – v) + L/(c + v) = L * 2c / (c² – v²) = 2 (L/c) / (1- v²/c²)

根据刚才得到的时钟变化率关系,可以知道动系里的时钟固有时 T` 比 T 短(外部观察者测得的时钟周期长):

T` = T * sqrt(1- v²/c²) = 2 (L/c) / sqrt(1- v²/c²)

再根据动系中的观察者测得光速也是 c 这个要求,可以推算出,在动系里的光源(接收机)和镜子的距离(量杆的原长度)应为:

L` = c T` / 2 = L / sqrt(1- v²/c²)

可见外部观察者测得的量杆长度 L 比动系中的 L` 短。

L`/L = 1 / sqrt(1- v²/c²) =  γ

为了接纳新诞生的麦克斯韦方程,并适应以太观测速度的零结果,物理学家竟然假设了一个之前从未在实验中发现的“钟慢尺缩”效应,不得不赞叹这些科学家大胆的想象力。

但也应该看到,在爱因斯坦提出相对论解释之前,洛仑兹变换的理论解释是较为怪异的。虽然它说对了动体要收缩,但是找了一个涉及到物质结构静力平衡的薄弱假说去解释这种收缩,这是有损理论普遍性的。在1900年前,人们对物质结构的认识本来就很模糊,原子核都是十几年后才发现的。那么追问下去,是哪些力的静力平衡决定了量杆的长度,这类问题无法回答,也就不能从静力平衡出发推导出洛仑兹变换的正确公式。上文的推导,只是基于测到光速不变的试验结果的反推,因此该假说最多算一种唯象理论。

在下一篇,我们将看到爱因斯坦首先找到了一个对洛仑兹变换更自洽的解释,他的解释彻底颠覆了牛顿以来人们对力学的观念,甚至让普通民众都感到仿佛触摸到了一个可畏的神秘新世界。


洛伦兹变换的几何图像

熟悉线性代数的读者知道,上文中洛伦兹变换的方程组,是一个线性变换。

如果把时间 t 和空间位置坐标 x, y, z 合成为一个 4×1 的列向量:
X = (c * t, x, y, z)ᵀ

洛伦兹变换也可以用矩阵的语言表示:

X` = [ γ,     – γ v / c, 0, 0
            – γ v / c, γ,    0,  0 
            0,        0,       1,      0
            0,        0,       0,      1 ]  X

逆变换:

X = [ γ,      γ v / c, 0, 0
            γ v / c, γ,    0,  0 
           0,        0,       1,   0
           0,        0,       0,   1 ]  X`

带 ` 的量是在动系中的坐标。

显然,上述变换是四维空间中的线性变换。变换矩阵非常简单对称,比方程形式的公式还更好记。而且很容易计算,此矩阵的行列式等于 γ² – γ² v²/c² = 1。

在线性代数中,我们知道,线性变换和几何图像有着密切的关系,可以理解为“对空间中的几何图像进行了一次操作”,例如旋转、放缩等。而且,行列式为 1 的矩阵在用于线性变换时,不改变“图形”的“体积”。那么洛伦兹变换的几何意义是什么呢?

为了直观理解,本站制作了几个动图。

洛伦兹变换动图1

 

我们忽略掉数值不发生变化的 y、z 坐标,把 c*t 作为坐标横轴,x 作为纵坐标轴,这样 c t – x 空间描述了外部参考系中的“事件”所处的时间、位置。

我们让 20只 Scratch 小猫在这个坐标系中排列成一个矩形,它们代表了这个坐标系里的一系列时空坐标点(事件)。对于运动的参考系,同一个事件的坐标将按洛伦兹变换确定。我们把动系的速度 v 从 0 逐步增大到 0.45 c,计算出动系中 20 只小猫的新“位置”,并做出动图,就形成了上面的效果。

这样,我们就能很直观地理解洛伦兹变换的几何图像了。通俗一点说,洛伦兹变换就像一种“挤压菱形”的操作,菱形的一条对角线被挤压,另一条对角线被拉长。而在这个变换的过程中,有4条射线的方向是不变的,那就是 x = ± c * t,在我们的图中用黄色进行了标记。这正是光速在洛伦兹变换下是不变速度的体现。

用更专业的术语来讲,这种“挤压菱形”的操作叫做“双曲旋转”。我们可以画出每一只小猫留下的轨迹,可以看到,除了位于  x = ± c * t 射线上的小猫,其他小猫的轨迹都是双曲线。我们再把 v 增大到 0.95 c,双曲线就会更加明显:

洛伦兹变换动图2

有些文章把洛伦兹变换描述为坐标系的普通“旋转”,是不准确的,还容易引起混淆。如果硬说是“旋转”的话,也是两个坐标轴朝着相反方向旋转,x 轴逆时针旋转、ct 轴顺时针旋转,像剪刀一样“剪”向二、四象限的 45°线。

另外刚才提到,由于洛伦兹变换矩阵的行列式为1,因此变换前后任何“图形”的四维体积也是不变的,这一点也能从动图上直观的感受到(变换后的平行四边形面积不变)。

最后,通过画出这些“事件”在洛伦兹变换时留下的轨迹,我们还可以解释一个重要的概念——“间隔”。

洛伦兹变换和间隔

既然每个“事件”的坐标在洛伦兹变换时都是沿着双曲线(或 45°射线)运动的,那么延伸这些双曲线(射线)总会和坐标轴有交点。它们与坐标轴相交时的截距,就称为原点 O 与该事件的“间隔”。

显然,从图中可见,双曲线有的和 x 轴相交,有的和 ct 轴相交,45° 射线和原点相交。因此,“间隔”也分为三类:

与 x 轴相交的双曲线,其上的事件与原点的间隔称为“类空间隔”,意味着总能找到一个参考系,使两个事件同时在不同空间位置发生。

与 ct 轴相交的双曲线,其上的事件与原点的间隔称为“类时间隔”,意味着总能找到一个参考系,使两个事件同在空间原点先后发生。

45° 射线的间隔总是 0,它们与原点的间隔称为“类光间隔”,意味着在任何参考系下,它都在从原点出发的光的行程上。

根据双曲线的定义,我们不难写出截距 s 与双曲线解析式的关系:

s² = (ct)² – x²

对于类空间隔,s 为虚数。

很多时候采用微分形式,记为:

ds² = c² dt² – dx²

一个事件与原点的间隔,可以用具有任何速度(v/c)的参考系中的坐标(ct, x)计算,在洛伦兹变换下,间隔 ds 是不变量。从我们动图中看,这是显然的结论,因为我们对间隔的定义就是这样,对同一条双曲线上的事件点,与原点的间隔都是这条双曲线的截距。

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