球面电磁波的推导

当示范麦克斯韦方程组能够推导出电磁波时,往往会演示一个平面波的解。但这种平面波情景有不少特殊假设:一方面限定了电场、磁场的方向(y轴、z轴)和波的传播方向(x轴),另一方面要求场强在传播路径的横截面(y、z方向)上均匀分布,其大小只是路径方向的坐标(x)和时间(t)的函数。这种在y、z方向上的均布性让人怀疑是否真实——一方面,显然不可能制造一个在无限空间中均布的场;另一方面,现实中常见的电磁波的例子,往往都是从一个源向四面八方辐射的,平面波解似乎脱离了实际。

从这个角度讲,天线是一个发射电磁波的现实情景。但如果真是给定天线的电流、电荷分布,求解它辐射的3维球面电磁波,难度又确实不小,需要构造矢量位、标量位等辅助函数。难度介于两者之间,可以只分析离开天线较远的空间位置(以便忽略一些高阶小项),并不去关心边界条件(这样解里会有几个不去管它的常数,如波的辐射强度、频率、相位等,显然这些应由波源的条件决定)。我们希望得到一个更接近实际的电磁波的解,找到电磁场强度的解析式,用来看清它的模样。

研究天线产生的球面电磁波,开始时容易想当然地认为,天线发射电磁波就像火球发出光一样,在各个角度的强度都相等、且服从平方反比定律。这样就会猜测电磁波会有 E = E0 r^-1 sin(ωt – ω/c r) 这样的在空间中完全球对称的解(之所以场强∝r^-1,是因为光强服从平方反比,而一个位置的光强是电场强度与磁场强度之积——坡印亭矢量 S = E×B —— 也即能流密度,对时间的平均值)。但再稍加分析就会发现,这种球对称的情况注定无法出现——电场和磁场方向垂直,如果完全球面对称,必然会出现不为0的散度。例如下图中,假设Eθ、Er、Bφ都与 θ、φ 无关,而只是 r 的函数,那么对于所有 z 轴上的点,电场的散度显然不为0(Eθ都指向中心),这与远离波源的空间中无电荷、电流的情景矛盾。实际上,对于直线天线而言,沿天线方向上(z轴)的点的电磁波强度为0,而过天线中点、垂直于天线的平面(xy平面)上的电磁波强度最大,显然电磁波不是完全球面对称的。

注:除了位置用球坐标 r、θ、φ 表示之外。对该位置上的场强矢量,也可以分解成 r、θ、φ 方向的分量 —— r方向就是位置矢量的方向;φ方向是垂直于位矢和z轴的方向,不妨定义为位矢叉乘z轴的方向;θ则是垂直于位矢、又和z轴共面的方向,不妨定义为φ方向叉乘位矢的方向。
图1
以天线中心为原点的球坐标系

下面,我们就切入主题,分析上图这种系统产生的电磁场特征。天线放在原点上,方向平行z轴。天线结构为中心馈电的载流导线。电流流经天线后,将在天线两端产生变化的正、负电场,同时在天线周边产生环形磁场。电场、磁场的方向可以先定性地给出——以便将一些矢量偏微分方程简化为标量偏微分方程。我们先感性地看一张天线周边电场变化的动图:

图片来源:https://en.wikipedia.org/wiki/Antenna_(radio)
作者:Chetvorno 依据 Creative Commons CC0 1.0 Universal Public Domain Dedication 开放使用权

图2 天线辐射的电场分布动图

对于图1、图2中这种偶极天线的辐射,不严格论证,但是可以依据对电磁场的认识判断,电场不应有水平旋转方向的分量 Eφ(否则破坏了系统围绕z轴的旋转对称性);磁场不应有径向的分量 Br(否则出现了磁极,而系统中没有磁极或环形电流);更进一步,通过“无耻地”偷看答案,我们还知道磁场只有φ方向的分量(作为事后诸葛,我们也可以说竖直旋转方向的磁场分量 Bθ 是违反直觉的,因为没有水平方向的环形电场)。

上述三条对电磁场方向的不严格的预先判断,降低了求解波动方程的难度。后续可只讨论电场 r、θ 方向的分量 Er、Eθ,和磁场 φ方向的分量 Bφ,他们的场强对时间和位置的函数是标量函数,为了避免下标字体与变量字体分不清,后文将 Er、Eθ、Bφ 分别改记为 E1(r, θ, φ, t)、E2(r, θ, φ, t)、B3(r, θ, φ, t)。

这样我们就可以列出麦克斯韦方程组。

采用希弗赛德(Heaviside)给出的微分形式麦克斯韦方程组为基础(这又是占的一个现代人的便宜),并给定电荷密度 ρ=0、电流密度 J=0,有:

∇·E = 0
∇·B = 0
∇×B = μ0ε0E/∂t
∇×E = – ∂B/∂t

将前面关于电场、磁场方向的判断带入:

Ex = E1 sinθ cosϕ – E2 cosθ cosϕ
Ey = E1 sinθ sinϕ – E2 cosθ sinϕ
Ez = E1 cosθ + E2 sinθ

Bx =  B3 sinϕ
By = –B3 cosϕ
Bz =  0

关于 nabla 符号 ∇ 的含义,可以参见上一篇学习笔记(球坐标下拉普拉斯算子的推导)。上篇给出的矢量恒等式在此派上用场:

∇×(∇×B) = ∇(∇·B) – ∇2B

将该式带入麦克斯韦第二、三方程:

∇×(∇×B) = ∇×(μ0ε0E/∂t) = ∇(∇·B) – ∇2 B

又 ∇×(E/∂t) =  ∂(∇×E)/∂t

再带入第四方程,得到:

2 B μ0ε02B/∂t2

显然,该方程可化为标量函数 B3 的二阶偏微分方程。

利用上篇提到的 Python 偏导数计算器,这个方程化为:

2B3/∂r2 + r^-2 ∂2B3/∂θ2 + 2 r^-1 ∂B3/∂r

+r^-2 ∂B3/∂θ (sinθ)^-1 cosθ – B3 r^-2 (sinθ)^-2

μ0ε02B3/∂t2

当然,这个偏微分方程还是很难去猜解是谁。由于有教材(再次偷看答案。。),我们可以验证,在 r >> |1/k| 时,以下函数

B3(r, θ, φ, t) = B30 r^-1 sinθ sin(ωt + kr +φ0)

是方程的一个近似解(代入后,方程左边仅多一项 -2 B30 r^-3 sinθ sin(ωt+kr+φ0) ,而它和方程右边的  μ0ε0 ω^2 B30 r^-1 sinθ sin(ωt + kr +φ0) 相比是高阶小项)。

其中 k = – ω  sqrt(μ0ε0) = -ω/c,故不含 k 的表达式为:

B3(r, θ, φ, t) = B30 r^-1 sinθ sin(ωt -ωr/c +φ0)

ω 、φ0和 B30 是常数。

从 B3 的表达式已经可以看到这种球面波的很多性质,例如等相位面的传播速度为 c:

ωt0 -ω r0/c = ω t1 -ω r1/c   →   (r1-r0) = (t1-t0) * c

以及场强与距离 r 成反比;场强与 sinθ 成正比——印证了本文开始提到的,天线的轴向电磁波强度为 0,垂直于天线的平面电磁波强度最大。

对于电场的方程,我们首先带入将 E1、E2 代入∇·E = 0

利用上篇的 Python 求导器,得到:

2 E1 r^-1 +∂E1/∂r -E2 r^-1 (sinθ)^-1 cosθ -∂E2/∂θ r^-1 = 0

不能想当然以为上式中 E1、E2 无关,将上式拆成两个分别关于 E1、E2 的一阶微分方程,那样就会得到 E1 = E10 r^-2;E2 = E20 (sinθ)^-1。显然这个结果是荒谬的,z轴上的切向电场 E2 将得到无穷大。

可以验证,如下构造的 E1、E2  满足 ∇·E = 0

E1 = -2 E20 k^-1 r^-2 cosθ cos(kr +ϕ(t))
E2 = E20 r^-1 sinθ sin(kr +ϕ(t))

(2 E1 r^-1 +∂E1/∂r -E2 r^-1 (sinθ)^-1 cosθ -∂E2/∂θ r^-1 =
-4 E20 k^-1 r^-3 cosθ cos(kr +ϕ(t))
+4 E20 k^-1 r^-3 cosθ cos(kr +ϕ(t))
+2 E20 r^-2 cosθ sin(kr +ϕ(t))
-E20 r^-2 sin(kr +ϕ(t)) cosθ
-E20 r^-2 cosθ sin(kr +ϕ(t))
= 0
这个猜测的过程是,首先电磁波电场的主要方向是 E2,所以 E2 的表达式应该与 B3 非常接近,而 E1 的数量级应该是与距离平方成反比的,基于这两条,可以给 E1 添加一个余弦部分,凑出正好消成 0 的散度)

再代入麦克斯韦第四方程,用 Python 求导器列出 E 的旋度,得到:

∂E1/∂θ r^-1 +E2 r^-1 +∂E2/∂r = -B30 ω r^-1 sinθ cos(ωt + kr +φ0)

再将刚才构造的满足 ∇·E = 0 的 E1、E2 代入,得到:

2 E20 k^-1 r^-3 sinθ cos(kr +ϕ(t))
+E20 r^-2 sinθ sin(kr +ϕ(t))
-E20 r^-2 sinθ sin(kr +ϕ(t))
+E20 k r^-1 sinθ cos(kr +ϕ(t))

= -B30 ω r^-1 sinθ cos(ωt + kr +φ0)

在 r >> |1/k| 时,方程左边的第一项 |k^-1 r^-3| << |k r^-1|,忽略该高阶小项,方程化为:

E20 k r^-1 sinθ cos(kr +ϕ(t))
= -B30 ω r^-1 sinθ cos(ωt + kr +φ0)

由 k =  -ω/c,可以得到: ϕ(t) = ωt + φ0;E20 = B30 c

至此,得到了麦克斯韦方程组的一个近似解:

E1(r, θ, φ, t) = 2 B30 c^2 ω^-1 r^-2 cosθ cos(ωt -ωr/c +φ0)
E2(r, θ, φ, t) = B30 c r^-1 sinθ sin(ωt -ωr/c +φ0)
B3(r, θ, φ, t) = B30 r^-1 sinθ sin(ωt -ωr/c +φ0)

应该看到,因为预先设定了电磁场的方向,以及只讨论到原点距离远大于波长的远区,降低了数学的难度。同时,上述计算根本没有考虑发射源的物理状态,因此,解里边的系数 B30 和 ω 、φ0都是待定的,对于真正的无线电分析来说,这并不算完成。只能说,相对于开篇的目的而言,算是了解到了形如上式的时变电磁场是麦克斯韦方程组的一个解。且此数学表达式是一个从原点向空间沿径向( r 方向)辐射的球面正弦波,波速为光速,且电场和磁场是同相位的(强的时候同时强,弱的时候同时弱,而不是交错强弱的);电磁场场强方向、大小与位置的关系也可以从公式中得知。这对于本篇的初始目的来说,就已经很好了。下图是把上述函数中的磁场部分,用可视化的方法做成了 gif 动图:

正值用红色线段表示,负值用蓝色线段表示,亮度反映了B3的绝对值,线段方向指示了场的方向;视角在不停转动以便让观众形成三维空(xuan)间(yun)感。。
图3 MoviePy 制作的一个 B3(r, θ, φ, t) 的动图(本站拙作)

结合 wiki 上搬过来的电场的动图,读者应该对天线产生的电磁场的时变特征有了较形象的印象。

球坐标系拉普拉斯算子的推导

拉普拉斯算子在物理和工程中都有重要的作用,比如要想理解电磁波波动方程、薛定谔方程,第一个需要熟悉的数学符号就是拉普拉斯算子。如果不满足于看科普文章遇到公式就跳过去,还是花一天半天的时间,打开 Excel,编辑一些公式,熟悉一下这些常用的算符。

拉普拉斯算子 ∆ ,也写作 ∇2, 定义并不复杂,若 u 是 x,y,z 的函数:
∆u = ∇·(∇u) = ∂2u/∂x2 + ∂2u/∂y2 + ∂2u/∂z2
∆u 即 u 对 x、y、z 的二阶偏导之和。

其中,∇·(∇u) 是用 nabla 符号∇ 表示的拉普拉斯算子,nabla 符号∇ 可以看成一个特殊的“向量”,只不过其分量是偏微分符号:∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)’

这样,如果 ∇数乘一个标量函数,就有了该函数的梯度:

ψ= grad ψ= (∂ψ/∂x, ∂ψ/∂y, ∂ψ/∂z)’

如果 ∇点乘一个矢量场,就像电场、磁场,就有了场的散度:

∇·E =divE =∂Ex/∂x + ∂Ey/∂y + ∂Ez/∂z

叉乘矢量场,就有了场的旋度:

∇×E= rotE= (∂Ez/∂y– ∂Ey/∂z, ∂Ex/∂z – ∂Ez/∂x, ∂Ey/∂x – ∂Ex/∂y)’

梯度、散度、旋度,都是值得编程或用 Excel 理解一下的概念,这里不再赘述了。

很显然,函数 u 对 x、y、z 的二阶偏导之和,就是它的梯度的散度。因此 ∆u = ∇·(∇u) = ∇2 u,这三种拉普拉斯算子的写法是等价的。

值得多提一句的是,向量叉乘有一个“BAC-CAB”恒等式:

A×(B×C) = B(A·C) – C(A·B)

AB 替换为∇算子,有:

∇×(∇×C) = ∇(∇·C) – (∇·∇C) = ∇(∇·C) – ∆C

这个等式在不少地方都有用处。

上面似乎还不算太复杂。不过我们有时候关心中心对称的物理情景,比如天线向周围空间辐射电磁波,电子绕原子核运动等等。对于这种中心对称的情况,有理由猜测运动方程用球坐标写会比较简化。因此,还有必要把刚才的拉普拉斯算子写出球坐标形式。

先看球坐标系的定义:

从坐标原点指向空间中位置的位置矢量r,简称“位矢”。那么球坐标系的三个坐标依次是:
r – 到原点的距离,也即位矢 r 的长度;θ – 位矢与 z 轴的夹角,ϕ – 位矢在 xy 平面投影与x轴的夹角。

易知:
x = r sinθ cosϕ
y= r sinθ sinϕ
z = r cosθ

式(1)

要写出 ∆u 的球坐标形式,就不是那么简单了,很多书上、百科上只有一个冷冰冰的结果,至于那是怎么来的,又像道生一、一生二似的,没有解释。实际上,这个推导量还不是几行就能搞定的,但也没有太多难度,只是繁琐了一些。本文就用了最笨的办法把这个推导过程写了出来。

第一步,先把一阶偏导数 ∂u/∂x、∂u/∂y、∂u/∂z 表示成球坐标形式:

由于(1)式中 x、y、z 对 r、θ 、ϕ 的导数很好求,所以先用链式法则表示 ∂u/∂r、∂u/∂θ、∂u/∂ϕ 与 ∂u/∂x、∂u/∂y、∂u/∂z 的关系:

∂u/∂r = [sinθ cosϕ, sinθ sinϕ, cosθ]’ ·(∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z)’
∂u/∂θ = [r cosθ cosϕ, r cosθ sinϕ, -r sinθ]’ ·(∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z)’
∂u/∂ϕ = [-r sinθ sinϕ, rsinθ cosϕ, 0 ]’ ·(∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z)’

式(2)

上面[ , , ]’是用向量表示 x、y、z 对 r、θ 、ϕ 的导数。

这样求 ∂u/∂x、∂u/∂y、∂u/∂z,就只需要求一个矩阵逆,可以得到:

∂u/∂x =
∂u/∂r sinθ cosϕ
+∂u/∂θ r^-1 cosθ cosϕ
-∂u/∂ϕ r^-1 (sinθ)^-1 sinϕ

∂u/∂y =
∂u/∂r sinθ sinϕ
+∂u/∂θ r^-1 cosθ sinϕ
+∂u/∂ϕ r^-1 (sinθ)^-1 cosϕ

∂u/∂z =
∂u/∂r cosθ
-∂u/∂θ r^-1 sinθ

式(3)

有了上述一阶偏导的球坐标形式,再求二阶偏导,就是暴力计算的事了。具体是:对式(3)再对 x、y、z 求导,其中要反复用到 r、sinθ、cosθ、sinϕ、cosϕ 对 x、y、z 的导数,把结果整理成只含 r、sinθ、cosθ、sinϕ、cosϕ 和 ∂u/∂r、∂u/∂θ、∂u/∂ϕ 对 x、y、z 的偏导数的多项式;然后再带入式(3),把所有对 x、y、z 的偏导数变为对 r、θ 、ϕ 的偏导数):

说来容易,算起来麻烦。与其一个式子一个式子手算,不如编个程序降低枯燥。为此,我还编了一个300多行的 Python 程序,专门处理这些求导的符号运算,但程序实在太丑陋,不好意思贴出来。

以下是计算机求导的结果:

首先,计算  r、sinθ、cosθ、sinϕ、cosϕ 对 x、y、z 的导数:

∂r/∂x = sinθ cosϕ
∂r/∂y = sinθ sinϕ
∂r/∂z = cosθ
∂sinθ/∂x = r^-1 (cosθ)^2 cosϕ
∂sinθ/∂y = r^-1 (cosθ)^2 sinϕ
∂sinθ/∂z = -r^-1 sinθ cosθ
∂cosθ/∂x = -r^-1 sinθ cosθ cosϕ
∂cosθ/∂y = -r^-1 sinθ cosθ sinϕ
∂cosθ/∂z = r^-1 (sinθ)^2
∂sinϕ/∂x = -r^-1 (sinθ)^-1 sinϕ cosϕ
∂sinϕ/∂y = r^-1 (sinθ)^-1 (cosϕ)^2
∂sinϕ/∂z = 0
∂cosϕ/∂x = r^-1 (sinθ)^-1 (sinϕ)^2
∂cosϕ/∂y = -r^-1 (sinθ)^-1 sinϕ cosϕ
∂cosϕ/∂z = 0

式(4)

然后,对式(3)再对 x、y、z 求导,并代入式(4)的结果:

∂( ∂u/∂x )/∂x =
+(sinθ)^2 (cosϕ)^2 ∂∂u/∂r/∂r
+r^-1 sinθ cosθ (cosϕ)^2 ∂∂u/∂r/∂θ
+∂u/∂r r^-1 (cosθ)^2 (cosϕ)^2
+∂u/∂r r^-1 (sinϕ)^2
-r^-1 sinϕ cosϕ ∂∂u/∂r/∂ϕ
+r^-1 sinθ cosθ (cosϕ)^2 ∂∂u/∂θ/∂r
+r^-2 (cosθ)^2 (cosϕ)^2 ∂∂u/∂θ/∂θ
+∂u/∂θ r^-2 (sinθ)^-1 cosθ (sinϕ)^2
-r^-2 (sinθ)^-1 cosθ sinϕ cosϕ ∂∂u/∂θ/∂ϕ
-∂u/∂θ r^-2 sinθ cosθ (cosϕ)^2
-∂u/∂θ r^-2 sinθ cosθ (cosϕ)^2
+r^-2 (sinθ)^-2 (sinϕ)^2 ∂∂u/∂ϕ/∂ϕ
+∂u/∂ϕ r^-2 (sinθ)^-2 (cosθ)^2 sinϕ cosϕ
+∂u/∂ϕ r^-2 (sinθ)^-2 sinϕ cosϕ
+∂u/∂ϕ r^-2 sinϕ cosϕ
-r^-1 sinϕ cosϕ ∂∂u/∂ϕ/∂r
-r^-2 (sinθ)^-1 cosθ sinϕ cosϕ ∂∂u/∂ϕ/∂θ

∂( ∂u/∂y )/∂y =
+(sinθ)^2 (sinϕ)^2 ∂∂u/∂r/∂r
+r^-1 sinθ cosθ (sinϕ)^2 ∂∂u/∂r/∂θ
+r^-1 sinϕ cosϕ ∂∂u/∂r/∂ϕ
+∂u/∂r r^-1 (cosθ)^2 (sinϕ)^2
+∂u/∂r r^-1 (cosϕ)^2
+r^-1 sinθ cosθ (sinϕ)^2 ∂∂u/∂θ/∂r
+r^-2 (cosθ)^2 (sinϕ)^2 ∂∂u/∂θ/∂θ
+r^-2 (sinθ)^-1 cosθ sinϕ cosϕ ∂∂u/∂θ/∂ϕ
+∂u/∂θ r^-2 (sinθ)^-1 cosθ (cosϕ)^2
-∂u/∂θ r^-2 sinθ cosθ (sinϕ)^2
-∂u/∂θ r^-2 sinθ cosθ (sinϕ)^2
+r^-1 sinϕ cosϕ ∂∂u/∂ϕ/∂r
+r^-2 (sinθ)^-1 cosθ sinϕ cosϕ ∂∂u/∂ϕ/∂θ
+r^-2 (sinθ)^-2 (cosϕ)^2 ∂∂u/∂ϕ/∂ϕ
-∂u/∂ϕ r^-2 (sinθ)^-2 (cosθ)^2 sinϕ cosϕ
-∂u/∂ϕ r^-2 (sinθ)^-2 sinϕ cosϕ
-∂u/∂ϕ r^-2 sinϕ cosϕ

∂( ∂u/∂z )/∂z =
+(cosθ)^2 ∂∂u/∂r/∂r
+∂u/∂r r^-1 (sinθ)^2
-r^-1 sinθ cosθ ∂∂u/∂r/∂θ
+r^-2 (sinθ)^2 ∂∂u/∂θ/∂θ
+∂u/∂θ r^-2 sinθ cosθ
+∂u/∂θ r^-2 sinθ cosθ
-r^-1 sinθ cosθ ∂∂u/∂θ/∂r

将以上三个式子加在一起,整理,得:

∆u = ∇·(∇u) = ∂(∂u/∂x)/∂x + ∂(∂u/∂y)/∂y + ∂(∂u/∂z)/∂z =
+(sinθ)^2 (cosϕ)^2 ∂∂u/∂r/∂r
+(sinθ)^2 (sinϕ)^2 ∂∂u/∂r/∂r
+(cosθ)^2 ∂∂u/∂r/∂r

+r^-1 sinθ cosθ (cosϕ)^2 ∂∂u/∂r/∂θ
+r^-1 sinθ cosθ (cosϕ)^2 ∂∂u/∂θ/∂r
+r^-1 sinθ cosθ (sinϕ)^2 ∂∂u/∂r/∂θ
+r^-1 sinθ cosθ (sinϕ)^2 ∂∂u/∂θ/∂r
-r^-1 sinθ cosθ ∂∂u/∂r/∂θ
-r^-1 sinθ cosθ ∂∂u/∂θ/∂r
-r^-1 sinϕ cosϕ ∂∂u/∂r/∂ϕ
-r^-1 sinϕ cosϕ ∂∂u/∂ϕ/∂r
+r^-1 sinϕ cosϕ ∂∂u/∂r/∂ϕ
+r^-1 sinϕ cosϕ ∂∂u/∂ϕ/∂r
+r^-2 (cosθ)^2 (cosϕ)^2 ∂∂u/∂θ/∂θ
+r^-2 (cosθ)^2 (sinϕ)^2 ∂∂u/∂θ/∂θ
+r^-2 (sinθ)^2 ∂∂u/∂θ/∂θ
-r^-2 (sinθ)^-1 cosθ sinϕ cosϕ ∂∂u/∂θ/∂ϕ
-r^-2 (sinθ)^-1 cosθ sinϕ cosϕ ∂∂u/∂ϕ/∂θ
+r^-2 (sinθ)^-1 cosθ sinϕ cosϕ ∂∂u/∂θ/∂ϕ
+r^-2 (sinθ)^-1 cosθ sinϕ cosϕ ∂∂u/∂ϕ/∂θ
+r^-2 (sinθ)^-2 (sinϕ)^2 ∂∂u/∂ϕ/∂ϕ
+r^-2 (sinθ)^-2 (cosϕ)^2 ∂∂u/∂ϕ/∂ϕ
+∂u/∂r r^-1 (cosθ)^2 (cosϕ)^2
+∂u/∂r r^-1 (sinϕ)^2
+∂u/∂r r^-1 (cosθ)^2 (sinϕ)^2
+∂u/∂r r^-1 (cosϕ)^2
+∂u/∂r r^-1 (sinθ)^2
+∂u/∂θ r^-2 (sinθ)^-1 cosθ (sinϕ)^2
-∂u/∂θ r^-2 sinθ cosθ (cosϕ)^2
-∂u/∂θ r^-2 sinθ cosθ (cosϕ)^2
+∂u/∂θ r^-2 (sinθ)^-1 cosθ (cosϕ)^2
-∂u/∂θ r^-2 sinθ cosθ (sinϕ)^2
-∂u/∂θ r^-2 sinθ cosθ (sinϕ)^2
+∂u/∂θ r^-2 sinθ cosθ
+∂u/∂θ r^-2 sinθ cosθ
+∂u/∂ϕ r^-2 (sinθ)^-2 (cosθ)^2 sinϕ cosϕ
+∂u/∂ϕ r^-2 (sinθ)^-2 sinϕ cosϕ
+∂u/∂ϕ r^-2 sinϕ cosϕ
-∂u/∂ϕ r^-2 (sinθ)^-2 (cosθ)^2 sinϕ cosϕ
-∂u/∂ϕ r^-2 (sinθ)^-2 sinϕ cosϕ
-∂u/∂ϕ r^-2 sinϕ cosϕ

=

∂∂u/∂r/∂r
+r^-2 ∂∂u/∂θ/∂θ
+r^-2 (sinθ)^-2 ∂∂u/∂ϕ/∂ϕ
+2 ∂u/∂r r^-1
+∂u/∂θ r^-2 (sinθ)^-1 cosθ

最后消得只剩上述5项了。再把1、4和2、5项用点技巧合并,就可以写成教科书上的形式了:

= (1/r^2) ∂( r^2 ∂u/∂r )/∂r
+ (1/r^2) cscθ ∂( sinθ ∂u/∂θ )/∂θ
+ (1/r^2) (cscθ)^2 ∂( ∂u/∂ϕ )/∂ϕ

至此完成拉普拉斯算子球坐标形式的推导。